初中数学二次函数综合题试题

如图1，抛物线 $y=a{x}^2+2x+c$与 $x$轴交于 $A(-4,0)$， $B(1,0)$两点，过点 $B$的直线 $y=\mathit{kx}+\frac{2}{3}$分别与 $y$轴及抛物线交于点 $C$， $D$．

（1）求直线和抛物线的表达式；

（2）动点 $P$从点 $O$出发，在 $x$轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为 $t$秒，当 $t$为何值时， $\mathit{\Delta PDC}$为直角三角形？请直接写出所有满足条件的 $t$的值；

（3）如图2，将直线 $\mathit{BD}$沿 $y$轴向下平移4个单位后，与 $x$轴， $y$轴分别交于 $E$， $F$两点，在抛物线的对称轴上是否存在点 $M$，在直线 $\mathit{EF}$上是否存在点 $N$，使 $\mathit{DM}+\mathit{MN}$的值最小？若存在，求出其最小值及点 $M$， $N$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图1，已知二次函数 $y=a{x}^2+\frac{3}{2}x+c(a\ne 0)$的图象与 $y$轴交于点 $A(0,4)$，与 $x$轴交于点 $B$、 $C$，点 $C$坐标为 $(8,0)$，连接 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$．

（1）请直接写出二次函数 $y=a{x}^2+\frac{3}{2}x+c$的表达式；

（2）判断 $\mathit{\Delta ABC}$的形状，并说明理由；

（3）若点 $N$在 $x$轴上运动，当以点 $A$、 $N$、 $C$为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点 $N$的坐标；

（4）如图2，若点 $N$在线段 $\mathit{BC}$上运动（不与点 $B$、 $C$重合），过点 $N$作 $\mathit{NM}//\mathit{AC}$，交 $\mathit{AB}$于点 $M$，当 $\mathit{\Delta AMN}$面积最大时，求此时点 $N$的坐标．

如图1，抛物线 $y_1=a{x}^2-\frac{1}{2}x+c$与 $x$轴交于点 $A$和点 $B(1,0)$，与 $y$轴交于点 $C(0,\frac{3}{4})$，抛物线 $y_1$的顶点为 $G$， $\mathit{GM}\perp x$轴于点 $M$．将抛物线 $y_1$平移后得到顶点为 $B$且对称轴为直线 $l$的抛物线 $y_2$．

（1）求抛物线 $y_2$的解析式；

（2）如图2，在直线 $l$上是否存在点 $T$，使 $\mathit{\Delta TAC}$是等腰三角形？若存在，请求出所有点 $T$的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）点 $P$为抛物线 $y_1$上一动点，过点 $P$作 $y$轴的平行线交抛物线 $y_2$于点 $Q$，点 $Q$关于直线 $l$的对称点为 $R$，若以 $P$， $Q$， $R$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta AMG}$全等，求直线 $\mathit{PR}$的解析式．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+4$交 $x$轴于 $A(-3,0)$， $B(4,0)$两点，与 $y$轴交于点 $C$，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$． $M$为线段 $\mathit{OB}$上的一个动点，过点 $M$作 $\mathit{PM}\perp x$轴，交抛物线于点 $P$，交 $\mathit{BC}$于点 $Q$．

（1）求抛物线的表达式；

（2）过点 $P$作 $\mathit{PN}\perp \mathit{BC}$，垂足为点 $N$．设 $M$点的坐标为 $M(m,0)$，请用含 $m$的代数式表示线段 $\mathit{PN}$的长，并求出当 $m$为何值时 $\mathit{PN}$有最大值，最大值是多少？

（3）试探究点 $M$在运动过程中，是否存在这样的点 $Q$，使得以 $A$， $C$， $Q$为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点 $Q$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于、两点，点坐标为，抛物线的对称轴方程为．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点从点出发，在线段上以每秒3个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设的面积为，点运动时间为，试求与的函数关系，并求的最大值；

（3）在点运动过程中，是否存在某一时刻，使为直角三角形？若存在，求出值；若不存在，请说明理由．

如图，二次函数 $y＝\frac{1}{4}{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象过点 $A（4\mathit{，﹣}4）$， $B\mathit{（﹣}2，m）$，交y轴于点 $C（0\mathit{，﹣}4）$．直线BO与抛物线相交于另一点D，连接 $\mathit{AB}，\mathit{AD}$，点E是线段AB上的一动点，过点E作 $\mathit{EF}\parallel \mathit{BD}$交AD于点F．

（1）求二次函数 $y＝\frac{1}{4}{x}^2+\mathit{bx}+c$的表达式；

（2）判断 $△\mathit{AB}D$的形状，并说明理由；

（3）在点E的运动过程中，直线 $\mathit{BD}$上存在一点G，使得四边形AFGE为矩形，请判断此时 $\mathit{AG}与\mathit{BD}$的数量关系，并求出点E的坐标；

（4）点H是抛物线的顶点，在（3）的条件下，点P是平面内使得 $\angle \mathit{EPF}＝90°$的点，在抛物线的对称轴上，是否存在点Q，使得 $△\mathit{HPQ}$是以 $\angle \mathit{PQH}$为直角的等腰直角三角形，若存在，直接写出符合条件的所有点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在直角坐标系中，四边形 $\mathit{OABC}$是平行四边形，经过 $A(-2,0)$， $B$， $C$三点的抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+\frac{8}{3}(a<0)$与 $x$轴的另一个交点为 $D$，其顶点为 $M$，对称轴与 $x$轴交于点 $E$．

（1）求这条抛物线对应的函数表达式；

（2）已知 $R$是抛物线上的点，使得 $\mathit{\Delta ADR}$的面积是 $▱\mathit{OABC}$的面积的 $\frac{3}{4}$，求点 $R$的坐标；

（3）已知 $P$是抛物线对称轴上的点，满足在直线 $\mathit{MD}$上存在唯一的点 $Q$，使得 $\angle \mathit{PQE}=45°$，求点 $P$的坐标．

如图，已知二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的图象经过 $A(-1,0)$、 $B(4,0)$、 $C(0,2)$三点．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）点 $D$是该二次函数图象上的一点，且满足 $\angle \mathit{DBA}=\angle \mathit{CAO}(O$是坐标原点），求点 $D$的坐标；

（3）点 $P$是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点，连接 $\mathit{PA}$分别交 $\mathit{BC}$、 $y$轴于点 $E$、 $F$，若 $\mathit{\Delta PEB}$、 $\mathit{\Delta CEF}$的面积分别为 $S_1$、 $S_2$，求 $S_1-S_2$的最大值．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+c$过点 $(-2,2)$， $(4,5)$，过定点 $F(0,2)$的直线 $l:y=\mathit{kx}+2$与抛物线交于 $A$、 $B$两点，点 $B$在点 $A$的右侧，过点 $B$作 $x$轴的垂线，垂足为 $C$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点 $B$在抛物线上运动时，判断线段 $\mathit{BF}$与 $\mathit{BC}$的数量关系 $(>$、 $<$、 $=)$，并证明你的判断；

（3） $P$为 $y$轴上一点，以 $B$、 $C$、 $F$、 $P$为顶点的四边形是菱形，设点 $P(0,m)$，求自然数 $m$的值；

（4）若 $k=1$，在直线 $l$下方的抛物线上是否存在点 $Q$，使得 $\mathit{\Delta QBF}$的面积最大？若存在，求出点 $Q$的坐标及 $\mathit{\Delta QBF}$的最大面积；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$经过 $A(-1,0)$、 $B(4,0)$、 $C(0,2)$三点，点 $D(x,y)$为抛物线上第一象限内的一个动点．

（1）求抛物线所对应的函数表达式；

（2）当 $\mathit{\Delta BCD}$的面积为3时，求点 $D$的坐标；

（3）过点 $D$作 $\mathit{DE}\perp \mathit{BC}$，垂足为点 $E$，是否存在点 $D$，使得 $\mathit{\Delta CDE}$中的某个角等于 $\angle \mathit{ABC}$的2倍？若存在，求点 $D$的横坐标；若不存在，请说明理由．

出关于 $x$的一元二次方程，解之取其非零值可得出点 $D$的横坐标．依此即可得解．

已知抛物线 $y=a{(x-1)}^2$过点 $(3,1)$， $D$为抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点 $B$、 $C$均在抛物线上，其中点 $B(0,\frac{1}{4})$，且 $\angle \mathit{BDC}=90°$，求点 $C$的坐标；

（3）如图，直线 $y=\mathit{kx}+4-k$与抛物线交于 $P$、 $Q$两点．

①求证： $\angle \mathit{PDQ}=90°$；

②求 $\mathit{\Delta PDQ}$面积的最小值．

抛物线 $L:y=-x^2+\mathit{bx}+c$经过点 $A(0,1)$，与它的对称轴直线 $x=1$交于点 $B$．

（1）直接写出抛物线 $L$的解析式；

（2）如图1，过定点的直线 $y=\mathit{kx}-k+4(k<0)$与抛物线 $L$交于点 $M$、 $N$．若 $\mathit{\Delta BMN}$的面积等于1，求 $k$的值；

（3）如图2，将抛物线 $L$向上平移 $m(m>0)$个单位长度得到抛物线 $L_1$，抛物线 $L_1$与 $y$轴交于点 $C$，过点 $C$作 $y$轴的垂线交抛物线 $L_1$于另一点 $D$． $F$为抛物线 $L_1$的对称轴与 $x$轴的交点， $P$为线段 $\mathit{OC}$上一点．若 $\mathit{\Delta PCD}$与 $\mathit{\Delta POF}$相似，并且符合条件的点 $P$恰有2个，求 $m$的值及相应点 $P$的坐标．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$与 $x$轴交于点 $A(-4,0)$， $B(2,0)$，与 $y$轴交于点 $C(0,4)$，线段 $\mathit{BC}$的中垂线与对称轴 $l$交于点 $D$，与 $x$轴交于点 $F$，与 $\mathit{BC}$交于点 $E$，对称轴 $l$与 $x$轴交于点 $H$．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）求点 $D$的坐标；

（3）点 $P$为 $x$轴上一点， $\odot P$与直线 $\mathit{BC}$相切于点 $Q$，与直线 $\mathit{DE}$相切于点 $R$．求点 $P$的坐标；

（4）点 $M$为 $x$轴上方抛物线上的点，在对称轴 $l$上是否存在一点 $N$，使得以点 $D$， $P$， $M$， $N$为顶点的四边形是平行四边形？若存在，则直接写出 $N$点坐标；若不存在，请说明理由．

如图，已知抛物线 $L:y=x^2+\mathit{bx}+c$ 经过点 $A(0,-5)$ ， $B(5,0)$ ．

（1）求 $b$ ， $c$ 的值；

（2）连结 $\mathit{AB}$ ，交抛物线 $L$ 的对称轴于点 $M$ ．

①求点 $M$ 的坐标；

②将抛物线 $L$ 向左平移 $m(m>0)$ 个单位得到抛物线 $L_1$ ．过点 $M$ 作 $\mathit{MN}//y$ 轴，交抛物线 $L_1$ 于点 $N$ ． $P$ 是抛物线 $L_1$ 上一点，横坐标为 $-1$ ，过点 $P$ 作 $\mathit{PE}//x$ 轴，交抛物线 $L$ 于点 $E$ ，点 $E$ 在抛物线 $L$ 对称轴的右侧．若 $\mathit{PE}+\mathit{MN}=10$ ，求 $m$ 的值．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，已知 $A$， $B$两点的坐标分别为 $(-4,0)$， $(4,0)$， $C(m,0)$是线段 $\mathit{AB}$上一点（与 $A$， $B$点不重合），抛物线 $L_1:y=a{x}^2+b_{1}x+c_1(a<0)$经过点 $A$， $C$，顶点为 $D$，抛物线 $L_2:y=a{x}^2+b_{2}x+c_2(a<0)$经过点 $C$， $B$，顶点为 $E$， $\mathit{AD}$， $\mathit{BE}$的延长线相交于点 $F$．

（1）若 $a=-\frac{1}{2}$， $m=-1$，求抛物线 $L_1$， $L_2$的解析式；

（2）若 $a=-1$， $\mathit{AF}\perp \mathit{BF}$，求 $m$的值；

（3）是否存在这样的实数 $a(a<0)$，无论 $m$取何值，直线 $\mathit{AF}$与 $\mathit{BF}$都不可能互相垂直？若存在，请直接写出 $a$的两个不同的值；若不存在，请说明理由．