初中数学二次函数综合题试题

如图，抛物线 $y=a{(x+1)}^2+4(a\ne 0)$与 $x$轴交于 $A$， $C$两点，与直线 $y=x-1$交于 $A$， $B$两点，直线 $\mathit{AB}$与抛物线的对称轴交于点 $E$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点 $P$在直线 $\mathit{AB}$上方的抛物线上运动．

①点 $P$在什么位置时， $\mathit{\Delta ABP}$的面积最大，求出此时点 $P$的坐标；

②当点 $P$与点 $C$重合时，连接 $\mathit{PE}$，将 $\mathit{\Delta PEB}$补成矩形，使 $\mathit{\Delta PEB}$上的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，求出矩形未知顶点的坐标．

如图，二次函数 $y=-\frac{1}{3}{x}^2+\mathit{bx}+2$的图象与 $x$轴交于点 $A$、 $B$，与 $y$轴交于点 $C$，点 $A$的坐标为 $(-4,0)$， $P$是抛物线上一点（点 $P$与点 $A$、 $B$、 $C$不重合）．

（1） $b=$　　，点 $B$的坐标是　　；

（2）设直线 $\mathit{PB}$与直线 $\mathit{AC}$相交于点 $M$，是否存在这样的点 $P$，使得 $\mathit{PM}:\mathit{MB}=1:2$？若存在，求出点 $P$的横坐标；若不存在，请说明理由；

（3）连接 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BC}$，判断 $\angle \mathit{CAB}$和 $\angle \mathit{CBA}$的数量关系，并说明理由．

小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程：

求解体验：

（1）已知抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}-3$经过点 $(-1,0)$，则 $b=$　　，顶点坐标为　　，该抛物线关于点 $(0,1)$成中心对称的抛物线表达式是　　．

抽象感悟：

我们定义：对于抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$，以 $y$轴上的点 $M(0,m)$为中心，作该抛物线关于点 $M$中心对称的抛物线 $y\text{'}$，则我们又称抛物线 $y\text{'}$为抛物线 $y$的“衍生抛物线”，点 $M$为“衍生中心”．

（2）已知抛物线 $y=-x^2-2x+5$关于点 $(0,m)$的衍生抛物线为 $y\text{'}$，若这两条抛物线有交点，求 $m$的取值范围．

问题解决：

（3）已知抛物线 $y=a{x}^2+2\mathit{ax}-b(a\ne 0)$

①若抛物线 $y$的衍生抛物线为 $y\text{'}=b{x}^2-2\mathit{bx}+a^2(b\ne 0)$，两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求 $a$、 $b$的值及衍生中心的坐标；

②若抛物线 $y$关于点 $(0,k+1^2)$的衍生抛物线为 $y_1$，其顶点为 $A_1$；关于点 $(0,k+2^2)$的衍生抛物线为 $y_2$，其顶点为 $A_2$； $\dots$；关于点 $(0,k+n^2)$的衍生抛物线为 $y_n$，其顶点为 $A_n\dots (n$为正整数）．求 $A_n{A}_{n+1}$的长（用含 $n$的式子表示）．

已知直线 $y=x+3$与 $x$轴、 $y$轴分别相交于 $A$、 $B$两点，抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$经过 $A$、 $B$两点，点 $M$在线段 $\mathit{OA}$上，从 $O$点出发，向点 $A$以每秒1个单位的速度匀速运动；同时点 $N$在线段 $\mathit{AB}$上，从点 $A$出发，向点 $B$以每秒 $\sqrt{2}$个单位的速度匀速运动，连接 $\mathit{MN}$，设运动时间为 $t$秒

（1）求抛物线解析式；

（2）当 $t$为何值时， $\mathit{\Delta AMN}$为直角三角形；

（3）过 $N$作 $\mathit{NH}//y$轴交抛物线于 $H$，连接 $\mathit{MH}$，是否存在点 $H$使 $\mathit{MH}//\mathit{AB}$，若存在，求出点 $H$的坐标，若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-2$与 $x$轴交于点 $A$、 $B$（点 $A$在点 $B$的左侧），与 $y$轴交于点 $C(0,-2)$， $\mathit{OB}=4\mathit{OA}$， $\tan \angle \mathit{BCO}=2$．

（1）求 $A$、 $B$两点的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）点 $M$、 $N$分别是线段 $\mathit{BC}$、 $\mathit{AB}$上的动点，点 $M$从点 $B$出发以每秒 $\frac{\sqrt{5}}{2}$个单位的速度向点 $C$运动，同时点 $N$从点 $A$出发以每秒2个单位的速度向点 $B$运动，当点 $M$、 $N$中的一点到达终点时，两点同时停止运动．过点 $M$作 $\mathit{MP}\perp x$轴于点 $E$，交抛物线于点 $P$．设点 $M$、点 $N$的运动时间为 $t\left(s\right)$，当 $t$为多少时， $\mathit{\Delta PNE}$是等腰三角形？

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，以直线 $x=\frac{5}{2}$对称轴的抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$与直线 $l:y=\mathit{kx}+m(k>0)$交于 $A(1,1)$， $B$两点，与 $y$轴交于 $C(0,5)$，直线 $l$与 $y$轴交于点 $D$．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）设直线 $l$与抛物线的对称轴的交点为 $F$， $G$是抛物线上位于对称轴右侧的一点，若 $\frac{\mathit{AF}}{\mathit{FB}}=\frac{3}{4}$，且 $\mathit{\Delta BCG}$与 $\mathit{\Delta BCD}$面积相等，求点 $G$的坐标；

（3）若在 $x$轴上有且仅有一点 $P$，使 $\angle \mathit{APB}=90°$，求 $k$的值．

如图，已知抛物线 $y=\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$与直线 $y=\frac{1}{2}x+3$交于 $A$， $B$两点，交 $x$轴于 $C$、 $D$两点，连接 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BC}$，已知 $A(0,3)$， $C(-3,0)$．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）在抛物线对称轴 $l$上找一点 $M$，使 $|\mathit{MB}-\mathit{MD}|$的值最大，并求出这个最大值；

（3）点 $P$为 $y$轴右侧抛物线上一动点，连接 $\mathit{PA}$，过点 $P$作 $\mathit{PQ}\perp \mathit{PA}$交 $y$轴于点 $Q$，问：是否存在点 $P$，使得以 $A$， $P$， $Q$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta ABC}$相似？若存在，请求出所有符合条件的点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$ 经过 $A(0,-1)$ ， $B(4,1)$ ．直线 $\mathit{AB}$ 交 $x$ 轴于点 $C$ ， $P$ 是直线 $\mathit{AB}$ 下方抛物线上的一个动点．过点 $P$ 作 $\mathit{PD}\perp \mathit{AB}$ ，垂足为 $D$ ， $\mathit{PE}//x$ 轴，交 $\mathit{AB}$ 于点 $E$ ．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）当 $\mathit{\Delta PDE}$ 的周长取得最大值时，求点 $P$ 的坐标和 $\mathit{\Delta PDE}$ 周长的最大值；

（3）把抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$ 平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点 $P$ ． $M$ 是新抛物线上一点， $N$ 是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点 $A$ ， $B$ ， $M$ ， $N$ 为顶点的四边形是平行四边形的点 $M$ 的坐标，并把求其中一个点 $M$ 的坐标的过程写出来．

如图，已知抛物线交 $x$轴于 $A$、 $B$两点，交 $y$轴于 $C$点， $A$点坐标为 $(-1,0)$， $\mathit{OC}=2$， $\mathit{OB}=3$，点 $D$为抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式；

（2） $P$为坐标平面内一点，以 $B$、 $C$、 $D$、 $P$为顶点的四边形是平行四边形，求 $P$点坐标；

（3）若抛物线上有且仅有三个点 $M_1$、 $M_2$、 $M_3$使得△ $M_1\mathit{BC}$、△ $M_2\mathit{BC}$、△ $M_3\mathit{BC}$的面积均为定值 $S$，求出定值 $S$及 $M_1$、 $M_2$、 $M_3$这三个点的坐标．

已知抛物线 $y=a{(x-1)}^2$过点 $(3,1)$， $D$为抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点 $B$、 $C$均在抛物线上，其中点 $B(0,\frac{1}{4})$，且 $\angle \mathit{BDC}=90°$，求点 $C$的坐标；

（3）如图，直线 $y=\mathit{kx}+4-k$与抛物线交于 $P$、 $Q$两点．

①求证： $\angle \mathit{PDQ}=90°$；

②求 $\mathit{\Delta PDQ}$面积的最小值．

如图1，已知二次函数 $y=a{x}^2+\frac{3}{2}x+c(a\ne 0)$的图象与 $y$轴交于点 $A(0,4)$，与 $x$轴交于点 $B$、 $C$，点 $C$坐标为 $(8,0)$，连接 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$．

（1）请直接写出二次函数 $y=a{x}^2+\frac{3}{2}x+c$的表达式；

（2）判断 $\mathit{\Delta ABC}$的形状，并说明理由；

（3）若点 $N$在 $x$轴上运动，当以点 $A$、 $N$、 $C$为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点 $N$的坐标；

（4）如图2，若点 $N$在线段 $\mathit{BC}$上运动（不与点 $B$、 $C$重合），过点 $N$作 $\mathit{NM}//\mathit{AC}$，交 $\mathit{AB}$于点 $M$，当 $\mathit{\Delta AMN}$面积最大时，求此时点 $N$的坐标．

如图，抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点， $B$点坐标为 $(3,0)$．与 $y$轴交于点 $C(0,3)$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $P$在 $x$轴下方的抛物线上，过点 $P$的直线 $y=x+m$与直线 $\mathit{BC}$交于点 $E$，与 $y$轴交于点 $F$，求 $\mathit{PE}+\mathit{EF}$的最大值；

（3）点 $D$为抛物线对称轴上一点．

①当 $\mathit{\Delta BCD}$是以 $\mathit{BC}$为直角边的直角三角形时，求点 $D$的坐标；

②若 $\mathit{\Delta BCD}$是锐角三角形，求点 $D$的纵坐标的取值范围．

抛物线 $y=4x^2-2\mathit{ax}+b$与 $x$轴相交于 $A(x_1$， $0)$， $B(x_2$， $0\left)\right(0<x_1<x_2)$两点，与 $y$轴交于点 $C$．

（1）设 $\mathit{AB}=2$， $\tan \angle \mathit{ABC}=4$，求该抛物线的解析式；

（2）在（1）中，若点 $D$为直线 $\mathit{BC}$下方抛物线上一动点，当 $\mathit{\Delta BCD}$的面积最大时，求点 $D$的坐标；

（3）是否存在整数 $a$， $b$使得 $1<x_1<2$和 $1<x_2<2$同时成立，请证明你的结论．

如图，已知抛物线 $L:y=x^2+\mathit{bx}+c$ 经过点 $A(0,-5)$ ， $B(5,0)$ ．

（1）求 $b$ ， $c$ 的值；

（2）连结 $\mathit{AB}$ ，交抛物线 $L$ 的对称轴于点 $M$ ．

①求点 $M$ 的坐标；

②将抛物线 $L$ 向左平移 $m(m>0)$ 个单位得到抛物线 $L_1$ ．过点 $M$ 作 $\mathit{MN}//y$ 轴，交抛物线 $L_1$ 于点 $N$ ． $P$ 是抛物线 $L_1$ 上一点，横坐标为 $-1$ ，过点 $P$ 作 $\mathit{PE}//x$ 轴，交抛物线 $L$ 于点 $E$ ，点 $E$ 在抛物线 $L$ 对称轴的右侧．若 $\mathit{PE}+\mathit{MN}=10$ ，求 $m$ 的值．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，已知 $A$， $B$两点的坐标分别为 $(-4,0)$， $(4,0)$， $C(m,0)$是线段 $\mathit{AB}$上一点（与 $A$， $B$点不重合），抛物线 $L_1:y=a{x}^2+b_{1}x+c_1(a<0)$经过点 $A$， $C$，顶点为 $D$，抛物线 $L_2:y=a{x}^2+b_{2}x+c_2(a<0)$经过点 $C$， $B$，顶点为 $E$， $\mathit{AD}$， $\mathit{BE}$的延长线相交于点 $F$．

（1）若 $a=-\frac{1}{2}$， $m=-1$，求抛物线 $L_1$， $L_2$的解析式；

（2）若 $a=-1$， $\mathit{AF}\perp \mathit{BF}$，求 $m$的值；

（3）是否存在这样的实数 $a(a<0)$，无论 $m$取何值，直线 $\mathit{AF}$与 $\mathit{BF}$都不可能互相垂直？若存在，请直接写出 $a$的两个不同的值；若不存在，请说明理由．