初中数学二次函数综合题试题

如图，矩形 $\mathit{OABC}$的两边在坐标轴上，点 $A$的坐标为 $(10,0)$，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+4$过点 $B$， $C$两点，且与 $x$轴的一个交点为 $D(-2,0)$，点 $P$是线段 $\mathit{CB}$上的动点，设 $\mathit{CP}=t(0<t<10)$．

（1）请直接写出 $B$、 $C$两点的坐标及抛物线的解析式；

（2）过点 $P$作 $\mathit{PE}\perp \mathit{BC}$，交抛物线于点 $E$，连接 $\mathit{BE}$，当 $t$为何值时， $\angle \mathit{PBE}=\angle \mathit{OCD}$？

（3）点 $Q$是 $x$轴上的动点，过点 $P$作 $\mathit{PM}//\mathit{BQ}$，交 $\mathit{CQ}$于点 $M$，作 $\mathit{PN}//\mathit{CQ}$，交 $\mathit{BQ}$于点 $N$，当四边形 $\mathit{PMQN}$为正方形时，请求出 $t$的值．

已知直线 $y=\frac{1}{2}x+2$分别交 $x$轴、 $y$轴于 $A$、 $B$两点，抛物线 $y=\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{mx}-2$经过点 $A$，和 $x$轴的另一个交点为 $C$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，点 $D$是抛物线上的动点，且在第三象限，求 $\mathit{\Delta ABD}$面积的最大值；

（3）如图2，经过点 $M(-4,1)$的直线交抛物线于点 $P$、 $Q$，连接 $\mathit{CP}$、 $\mathit{CQ}$分别交 $y$轴于点 $E$、 $F$，求 $\mathit{OE}·\mathit{OF}$的值．

备注：抛物线顶点坐标公式 $(-\frac{b}{2a}$， $\frac{4\mathit{ac}-b^2}{4a})$

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$经过 $A(-1,0)$、 $B(4,0)$、 $C(0,2)$三点，点 $D(x,y)$为抛物线上第一象限内的一个动点．

（1）求抛物线所对应的函数表达式；

（2）当 $\mathit{\Delta BCD}$的面积为3时，求点 $D$的坐标；

（3）过点 $D$作 $\mathit{DE}\perp \mathit{BC}$，垂足为点 $E$，是否存在点 $D$，使得 $\mathit{\Delta CDE}$中的某个角等于 $\angle \mathit{ABC}$的2倍？若存在，求点 $D$的横坐标；若不存在，请说明理由．

出关于 $x$的一元二次方程，解之取其非零值可得出点 $D$的横坐标．依此即可得解．

抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于 $A(1,0)$， $B(m,0)$，与 $y$轴交于 $C$．

（1）若 $m=-3$，求抛物线的解析式，并写出抛物线的对称轴；

（2）如图1，在（1）的条件下，设抛物线的对称轴交 $x$轴于 $D$，在对称轴左侧的抛物线上有一点 $E$，使 $S_{\mathit{\Delta ACE}}=\frac{10}{3}{S}_{\mathit{\Delta ACD}}$，求点 $E$的坐标；

（3）如图2，设 $F(-1,-4)$， $\mathit{FG}\perp y$轴于 $G$，在线段 $\mathit{OG}$上是否存在点 $P$，使 $\angle \mathit{OBP}=\angle \mathit{FPG}$？若存在，求 $m$的取值范围；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的图象经过 $A(1,0)$， $B(3,0)$， $C(0,6)$三点．

（1）求抛物线的解析式．

（2）抛物线的顶点 $M$与对称轴 $l$上的点 $N$关于 $x$轴对称，直线 $\mathit{AN}$交抛物线于点 $D$，直线 $\mathit{BE}$交 $\mathit{AD}$于点 $E$，若直线 $\mathit{BE}$将 $\mathit{\Delta ABD}$的面积分为 $1:2$两部分，求点 $E$的坐标．

（3） $P$为抛物线上的一动点， $Q$为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点 $P$，使 $A$、 $D$、 $P$、 $Q$为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

已知点 $A(-1,1)$、 $B(4,6)$在抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}$上，

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，点 $F$的坐标为 $(0$， $m\left)\right(m>2)$，直线 $\mathit{AF}$交抛物线于另一点 $G$，过点 $G$作 $x$轴的垂线，垂足为 $H$．设抛物线与 $x$轴的正半轴交于点 $E$，连接 $\mathit{FH}$、 $\mathit{AE}$，求证： $\mathit{FH}//\mathit{AE}$；

（3）如图2，直线 $\mathit{AB}$分别交 $x$轴、 $y$轴于 $C$、 $D$两点．点 $P$从点 $C$出发，沿射线 $\mathit{CD}$方向匀速运动，速度为每秒 $\sqrt{2}$个单位长度；同时点 $Q$从原点 $O$出发，沿 $x$轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度．点 $M$是直线 $\mathit{PQ}$与抛物线的一个交点，当运动到 $t$秒时， $\mathit{QM}=2\mathit{PM}$，直接写出 $t$的值．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，直线 $y=\mathit{kx}+3$分别交 $x$轴、 $y$轴于 $A$， $B$两点，经过 $A$， $B$两点的抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴的正半轴相交于点 $C(1,0)$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若 $P$为线段 $\mathit{AB}$上一点， $\angle \mathit{APO}=\angle \mathit{ACB}$，求 $\mathit{AP}$的长；

（3）在（2）的条件下，设 $M$是 $y$轴上一点，试问：抛物线上是否存在点 $N$，使得以 $A$， $P$， $M$， $N$为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点 $N$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$交 $x$轴于 $A$、 $B$两点，其中点 $A$坐标为 $(1,0)$，与 $y$轴交于点 $C(0,-3)$．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）如图①，连接 $\mathit{AC}$，点 $P$在抛物线上，且满足 $\angle \mathit{PAB}=2\angle \mathit{ACO}$．求点 $P$的坐标；

（3）如图②，点 $Q$为 $x$轴下方抛物线上任意一点，点 $D$是抛物线对称轴与 $x$轴的交点，直线 $\mathit{AQ}$、 $\mathit{BQ}$分别交抛物线的对称轴于点 $M$、 $N$．请问 $\mathit{DM}+\mathit{DN}$是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．

如图，抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点， $B$点坐标为 $(4,0)$，与 $y$轴交于点 $C(0,4)$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $P$在 $x$轴下方的抛物线上，过点 $P$的直线 $y=x+m$与直线 $\mathit{BC}$交于点 $E$，与 $y$轴交于点 $F$，求 $\mathit{PE}+\mathit{EF}$的最大值；

（3）点 $D$为抛物线对称轴上一点．

①当 $\mathit{\Delta BCD}$是以 $\mathit{BC}$为直角边的直角三角形时，直接写出点 $D$的坐标；

②若 $\mathit{\Delta BCD}$是锐角三角形，直接写出点 $D$的纵坐标 $n$的取值范围．

综合与探究

如图1所示，直线 $y=x+c$与 $x$轴交于点 $A(-4,0)$，与 $y$轴交于点 $C$，抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$经过点 $A$， $C$．

（1）求抛物线的解析式

（2）点 $E$在抛物线的对称轴上，求 $\mathit{CE}+\mathit{OE}$的最小值；

（3）如图2所示， $M$是线段 $\mathit{OA}$的上一个动点，过点 $M$垂直于 $x$轴的直线与直线 $\mathit{AC}$和抛物线分别交于点 $P$、 $N$．

①若以 $C$， $P$， $N$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta APM}$相似，则 $\mathit{\Delta CPN}$的面积为　　；

②若点 $P$恰好是线段 $\mathit{MN}$的中点，点 $F$是直线 $\mathit{AC}$上一个动点，在坐标平面内是否存在点 $D$，使以点 $D$， $F$， $P$， $M$为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点 $D$的坐标；若不存在，请说明理由．

注：二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的顶点坐标为 $(-\frac{b}{2a}$， $\frac{4\mathit{ac}-b^2}{4a})$

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，抛物线 $y=-\frac{1}{4}{x}^2+\mathit{bx}+c$经过点 $A(-2,0)$， $B(8,0)$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $C$是抛物线与 $y$轴的交点，连接 $\mathit{BC}$，设点 $P$是抛物线上在第一象限内的点， $\mathit{PD}\perp \mathit{BC}$，垂足为点 $D$．

①是否存在点 $P$，使线段 $\mathit{PD}$的长度最大？若存在，请求出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由；

②当 $\mathit{\Delta PDC}$与 $\mathit{\Delta COA}$相似时，求点 $P$的坐标．

如图所示，二次函数 $y=k{(x-1)}^2+2$的图象与一次函数 $y=\mathit{kx}-k+2$的图象交于 $A$、 $B$两点，点 $B$在点 $A$的右侧，直线 $\mathit{AB}$分别与 $x$、 $y$轴交于 $C$、 $D$两点，其中 $k<0$．

（1）求 $A$、 $B$两点的横坐标；

（2）若 $\mathit{\Delta OAB}$是以 $\mathit{OA}$为腰的等腰三角形，求 $k$的值；

（3）二次函数图象的对称轴与 $x$轴交于点 $E$，是否存在实数 $k$，使得 $\angle \mathit{ODC}=2\angle \mathit{BEC}$，若存在，求出 $k$的值；若不存在，说明理由．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+c$过点 $(-2,2)$， $(4,5)$，过定点 $F(0,2)$的直线 $l:y=\mathit{kx}+2$与抛物线交于 $A$、 $B$两点，点 $B$在点 $A$的右侧，过点 $B$作 $x$轴的垂线，垂足为 $C$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点 $B$在抛物线上运动时，判断线段 $\mathit{BF}$与 $\mathit{BC}$的数量关系 $(>$、 $<$、 $=)$，并证明你的判断；

（3） $P$为 $y$轴上一点，以 $B$、 $C$、 $F$、 $P$为顶点的四边形是菱形，设点 $P(0,m)$，求自然数 $m$的值；

（4）若 $k=1$，在直线 $l$下方的抛物线上是否存在点 $Q$，使得 $\mathit{\Delta QBF}$的面积最大？若存在，求出点 $Q$的坐标及 $\mathit{\Delta QBF}$的最大面积；若不存在，请说明理由．

如图，已知抛物线 $L:y=x^2+\mathit{bx}+c$ 经过点 $A(0,-5)$ ， $B(5,0)$ ．

（1）求 $b$ ， $c$ 的值；

（2）连结 $\mathit{AB}$ ，交抛物线 $L$ 的对称轴于点 $M$ ．

①求点 $M$ 的坐标；

②将抛物线 $L$ 向左平移 $m(m>0)$ 个单位得到抛物线 $L_1$ ．过点 $M$ 作 $\mathit{MN}//y$ 轴，交抛物线 $L_1$ 于点 $N$ ． $P$ 是抛物线 $L_1$ 上一点，横坐标为 $-1$ ，过点 $P$ 作 $\mathit{PE}//x$ 轴，交抛物线 $L$ 于点 $E$ ，点 $E$ 在抛物线 $L$ 对称轴的右侧．若 $\mathit{PE}+\mathit{MN}=10$ ，求 $m$ 的值．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，已知 $A$， $B$两点的坐标分别为 $(-4,0)$， $(4,0)$， $C(m,0)$是线段 $\mathit{AB}$上一点（与 $A$， $B$点不重合），抛物线 $L_1:y=a{x}^2+b_{1}x+c_1(a<0)$经过点 $A$， $C$，顶点为 $D$，抛物线 $L_2:y=a{x}^2+b_{2}x+c_2(a<0)$经过点 $C$， $B$，顶点为 $E$， $\mathit{AD}$， $\mathit{BE}$的延长线相交于点 $F$．

（1）若 $a=-\frac{1}{2}$， $m=-1$，求抛物线 $L_1$， $L_2$的解析式；

（2）若 $a=-1$， $\mathit{AF}\perp \mathit{BF}$，求 $m$的值；

（3）是否存在这样的实数 $a(a<0)$，无论 $m$取何值，直线 $\mathit{AF}$与 $\mathit{BF}$都不可能互相垂直？若存在，请直接写出 $a$的两个不同的值；若不存在，请说明理由．