如图1,二次函数 的图象与 轴交于 、 两点(点 在点 的左侧),其对称轴 与 轴交于点 ,它的顶点为点 .
(1)写出点 的坐标 .
(2)点 在对称轴 上,位于点 上方,且 ,以 为顶点的二次函数 的图象过点 .
①试说明二次函数 的图象过点 ;
②点 在二次函数 的图象上,到 轴的距离为 ,当点 的坐标为 时,二次函数 的图象上有且只有三个点到 轴的距离等于 ;
③如图2,已知 ,过点 作 轴的平行线,分别交二次函数 、 的图象于点 、 、 、 (点 、 在对称轴 左侧),过点 作 轴的垂线,垂足为点 ,交二次函数 的图象于点 ,若 ,求实数 的值.
已知点 、 在抛物线 上,
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图1,点 的坐标为 , ,直线 交抛物线于另一点 ,过点 作 轴的垂线,垂足为 .设抛物线与 轴的正半轴交于点 ,连接 、 ,求证: ;
(3)如图2,直线 分别交 轴、 轴于 、 两点.点 从点 出发,沿射线 方向匀速运动,速度为每秒 个单位长度;同时点 从原点 出发,沿 轴正方向匀速运动,速度为每秒1个单位长度.点 是直线 与抛物线的一个交点,当运动到 秒时, ,直接写出 的值.
如图1,已知一次函数 的图象与 轴、 轴分别交于 、 两点,抛物线 过 、 两点,且与 轴交于另一点 .
(1)求 、 的值;
(2)如图1,点 为 的中点,点 在线段 上,且 ,连接 并延长交抛物线于点 ,求点 的坐标;
(3)将直线 绕点 按逆时针方向旋转 后交 轴于点 ,连接 ,如图2, 为 内一点,连接 、 、 ,分别以 、 为边,在他们的左侧作等边 ,等边 ,连接
①求证: ;
②求 的最小值,并求出当 取得最小值时点 的坐标.
如图,在平面直角坐标系中,矩形 的顶点 , 分别在 轴, 轴的正半轴上,且 , ,若抛物线经过 , 两点,且顶点在 边上,对称轴交 于点 ,点 , 的坐标分别为 , .
(1)求抛物线的解析式;
(2)猜想 的形状并加以证明;
(3)点 在对称轴右侧的抛物线上,点 在 轴上,请问是否存在以点 , , , 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出所有符合条件的点 的坐标;若不存在,请说明理由.
如图,已知直线 与抛物线 相交于 , 两点,抛物线 交 轴于点 ,交 轴正半轴于 点,抛物线的顶点为 .
(1)求抛物线的解析式及点 的坐标;
(2)设点 为直线 下方的抛物线上一动点,当 的面积最大时,求此时 的面积及点 的坐标;
(3)点 为 轴上一动点,点 是抛物线上一点,当 (点 与点 对应),求 点坐标.
如图,抛物线 交 轴于 、 两点,其中点 坐标为 ,与 轴交于点 .
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)如图①,连接 ,点 在抛物线上,且满足 .求点 的坐标;
(3)如图②,点 为 轴下方抛物线上任意一点,点 是抛物线对称轴与 轴的交点,直线 、 分别交抛物线的对称轴于点 、 .请问 是否为定值?如果是,请求出这个定值;如果不是,请说明理由.
如图,已知抛物线 经过点 , 和 . 垂直于 轴,交抛物线于点 , 垂直与 轴,垂足为 , 是抛物线的对称轴,点 是抛物线的顶点.
(1)求出二次函数的表达式以及点 的坐标;
(2)若 沿 轴向右平移到其直角边 与对称轴 重合,再沿对称轴 向上平移到点 与点 重合,得到 △ ,求此时 △ 与矩形 重叠部分的图形的面积;
(3)若 沿 轴向右平移 个单位长度 得到 △ , △ 与 重叠部分的图形面积记为 ,求 与 之间的函数表达式,并写出自变量 的取值范围.
如图,抛物线 与 轴交于原点及点 ,且经过点 ,对称轴为直线 .
(1)求抛物线的解析式;
(2)设直线 与抛物线两交点的横坐标分别为 , ,当 时,求 的值;
(3)连接 ,点 为 轴下方抛物线上一动点,过点 作 的平行线交直线 于点 ,当 时,求出点 的坐标.
(坐标平面内两点 , , , 之间的距离
如图,在平面直角坐标系中,四边形 是以 为直径的 的内接四边形,点 , 在 轴上, 是边长为2的等边三角形,过点 作直线 与 轴垂直,交 于点 ,垂足为点 ,且点 平分 .
(1)求过 , , 三点的抛物线的解析式;
(2)求证:四边形 是菱形;
(3)请问在抛物线上是否存在一点 ,使得 的面积等于定值5?若存在,请求出所有的点 的坐标;若不存在,请说明理由.
如图,二次函数 的图象经过点 , , ,直线 与 轴交于点 , 为二次函数图象上任一点.
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)若点 在直线 的上方,过 分别作 和 轴的垂线,交直线 于不同的两点 , 在 的左侧),求 周长的最大值;
(3)是否存在点 ,使得 是以 为直角边的直角三角形?如果存在,求点 的坐标;如果不存在,请说明理由.
如图①,抛物线 与 轴交于 , 两点(点 位于点 的左侧),与 轴交于点 .已知 的面积是6.
(1)求 的值;
(2)求 外接圆圆心的坐标;
(3)如图②, 是抛物线上一点, 为射线 上一点,且 、 两点均在第三象限内, 、 是位于直线 同侧的不同两点,若点 到 轴的距离为 , 的面积为 ,且 ,求点 的坐标.
如图,二次函数 的图象经过点 , , ,直线 与 轴交于点 , 为二次函数图象上任一点.
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)若点 在直线 的上方,过 分别作 和 轴的垂线,交直线 于不同的两点 , 在 的左侧),求 周长的最大值;
(3)是否存在点 ,使得 是以 为直角边的直角三角形?如果存在,求点 的坐标;如果不存在,请说明理由.
若一次函数 的图象与 轴, 轴分别交于 , 两点,点 的坐标为 ,二次函数 的图象过 , , 三点,如图(1).
(1)求二次函数的表达式;
(2)如图(1),过点 作 轴交抛物线于点 ,点 在抛物线上 轴左侧),若 恰好平分 .求直线 的表达式;
(3)如图(2),若点 在抛物线上(点 在 轴右侧),连接 交 于点 ,连接 , .
①当 时,求点 的坐标;
②求 的最大值.
如图1,在平面直角坐标系 中,已知点 和点 的坐标分别为 , ,将 绕点 按顺时针方向分别旋转 , 得到 △ , .抛物线 经过点 , , ;抛物线 经过点 , , .
(1)点 的坐标为 ,点 的坐标为 ;抛物线 的解析式为 .抛物线 的解析式为 ;
(2)如果点 是直线 上方抛物线 上的一个动点.
①若 时,求 点的坐标;
②如图2,过点 作 轴的垂线交直线 于点 ,交抛物线 于点 ,记 ,求 与 的函数关系式,当 时,求 的取值范围.