如图,已知二次函数 的图象与 轴交于 , 两点,与 轴交于点 ,直线 经过 , 两点.
(1)直接写出二次函数的解析式 ;
(2)平移直线 ,当直线 与抛物线有唯一公共点 时,求此时点 的坐标;
(3)过(2)中的点 作 轴,交 轴于点 .若点 是抛物线上一个动点,点 是 轴上一个动点,是否存在以 , , 三点为顶点的直角三角形(其中 为直角顶点)与 相似?如果存在,请直接写出满足条件的点 的个数和其中一个符合条件的点 的坐标;如果不存在,请说明理由.
平面直角坐标系 中,已知抛物线 经过 、 两点,其中 为常数.
(1)求 的值,并用含 的代数式表示 ;
(2)若抛物线 与 轴有公共点,求 的值;
(3)设 、 是抛物线 上的两点,请比较 与0的大小,并说明理由.
如图,在平面直角坐标系中,矩形 的边 、 分别在 轴、 轴上,点 坐标为 , ,二次函数 的图象经过点 ,顶点为点 .
(1)当 时,顶点 到 轴的距离等于 ;
(2)点 是二次函数 的图象与 轴的一个公共点(点 与点 不重合),求 的最大值及取得最大值时的二次函数表达式;
(3)矩形 的对角线 、 交于点 ,直线 平行于 轴,交二次函数 的图象于点 、 ,连接 、 ,当 时,求 的值.
如图,在平面直角坐标系 中,抛物线 过点 ,与抛物线 的一个交点为 ,且点 的横坐标为2,点 、 分别是抛物线 、 上的动点.
(1)求抛物线 对应的函数表达式;
(2)若以点 、 、 、 为顶点的四边形恰为平行四边形,求出点 的坐标;
(3)设点 为抛物线 上另一个动点,且 平分 .若 ,求出点 的坐标.
在平面直角坐标系 中,规定:抛物线 的伴随直线为 .例如:抛物线 的伴随直线为 ,即 .
(1)在上面规定下,抛物线 的顶点坐标为 ,伴随直线为 ,抛物线 与其伴随直线的交点坐标为 和 ;
(2)如图,顶点在第一象限的抛物线 与其伴随直线相交于点 , (点 在点 的左侧),与 轴交于点 , .
①若 ,求 的值;
②如果点 是直线 上方抛物线上的一个动点, 的面积记为 ,当 取得最大值 时,求 的值.
如图1,抛物线 与 轴交于 、 两点,与 轴交于点 .已知点 的坐标为 ,点 为坐标原点, ,抛物线 的顶点为 .
(1)求出抛物线 的解析式,并写出点 的坐标;
(2)如图2,将抛物线 向下平移 个单位,得到抛物线 ,设 与 轴的交点为 、 ,顶点为 ,当△ 是等边三角形时,求 的值:
(3)在(2)的条件下,如图3,设点 为 轴正半轴上一动点,过点 作 轴的垂线分别交抛物线 、 于 、 两点,试探究在直线 上是否存在点 ,使得以 、 、 为顶点的三角形与 全等,若存在,直接写出点 , 的坐标:若不存在,请说明理由.
如图,矩形 的两边在坐标轴上,点 的坐标为 ,抛物线 过点 , 两点,且与 轴的一个交点为 ,点 是线段 上的动点,设 .
(1)请直接写出 、 两点的坐标及抛物线的解析式;
(2)过点 作 ,交抛物线于点 ,连接 ,当 为何值时, ?
(3)点 是 轴上的动点,过点 作 ,交 于点 ,作 ,交 于点 ,当四边形 为正方形时,请求出 的值.
直线 交 轴于点 ,交 轴于点 ,顶点为 的抛物线 经过点 ,交 轴于另一点 ,连接 , , ,如图所示.
(1)直接写出抛物线的解析式和点 , , 的坐标;
(2)动点 在 上以每秒2个单位长的速度由点 向点 运动,同时动点 在 上以每秒3个单位长的速度由点 向点 运动,当其中一个点到达终点停止运动时,另一个点也随之停止运动,设运动时间为 秒. 交线段 于点 .
①当 时,求 的值;
②过点 作 ,垂足为点 ,过点 作 交线段 或 于点 ,当 时,求 的值.
已知抛物线 经过点 , 、 与 轴交于另一点 ,连接 .
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图, 是第一象限内抛物线上一点,且 ,求证: ;
(3)在抛物线上是否存在点 ,直线 交 轴于点 ,使 与以 , , , 中的三点为顶点的三角形相似(不重合)?若存在,请求出点 的坐标;若不存在,请说明理由.
如图,抛物线 与 轴交于 、 两点,与 轴交于点 ,其对称轴交抛物线于点 ,交 轴于点 ,已知 .
(1)求抛物线的解析式及点 的坐标;
(2)连接 , 为抛物线上一动点,当 时,求点 的坐标;
(3)平行于 轴的直线交抛物线于 、 两点,以线段 为对角线作菱形 ,当点 在 轴上,且 时,求菱形对角线 的长.
已知点 、 在抛物线 上,
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图1,点 的坐标为 , ,直线 交抛物线于另一点 ,过点 作 轴的垂线,垂足为 .设抛物线与 轴的正半轴交于点 ,连接 、 ,求证: ;
(3)如图2,直线 分别交 轴、 轴于 、 两点.点 从点 出发,沿射线 方向匀速运动,速度为每秒 个单位长度;同时点 从原点 出发,沿 轴正方向匀速运动,速度为每秒1个单位长度.点 是直线 与抛物线的一个交点,当运动到 秒时, ,直接写出 的值.
如图,抛物线 与 轴交于原点及点 ,且经过点 ,对称轴为直线 .
(1)求抛物线的解析式;
(2)设直线 与抛物线两交点的横坐标分别为 , ,当 时,求 的值;
(3)连接 ,点 为 轴下方抛物线上一动点,过点 作 的平行线交直线 于点 ,当 时,求出点 的坐标.
(坐标平面内两点 , , , 之间的距离
如图,在平面直角坐标系中,四边形 的边 在 轴上,点 在 轴的负半轴上,直线 ,且 , ,将经过 、 两点的直线 向右平移,平移后的直线与 轴交于点 ,与直线 交于点 ,设 的长为 .
(1)四边形 的面积为 ;
(2)设四边形 被直线 扫过的面积(阴影部分)为 ,请直接写出 关于 的函数解析式;
(3)当 时,直线 上有一动点 ,作 直线 于点 ,交 轴于点 ,将 沿直线 折叠得到 ,探究:是否存在点 ,使点 恰好落在坐标轴上?若存在,请求出点 的坐标;若不存在,请说明理由.
如图,二次函数 的图象与 轴交于点 , ,与 轴交于点 ,抛物线的顶点为 ,其对称轴与线段 交于点 ,垂直于 轴的动直线 分别交抛物线和线段 于点 和点 ,动直线 在抛物线的对称轴的右侧(不含对称轴)沿 轴正方向移动到 点.
(1)求出二次函数 和 所在直线的表达式;
(2)在动直线 移动的过程中,试求使四边形 为平行四边形的点 的坐标;
(3)连接 , ,在动直线 移动的过程中,抛物线上是否存在点 ,使得以点 , , 为顶点的三角形与 相似?如果存在,求出点 的坐标;如果不存在,请说明理由.