已知抛物线 过点 , 为抛物线的顶点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点 、 均在抛物线上,其中点 ,且 ,求点 的坐标;
(3)如图,直线 与抛物线交于 、 两点.
①求证: ;
②求 面积的最小值.
抛物线 与 轴交于 , ,与 轴交于 .
(1)若 ,求抛物线的解析式,并写出抛物线的对称轴;
(2)如图1,在(1)的条件下,设抛物线的对称轴交 轴于 ,在对称轴左侧的抛物线上有一点 ,使 ,求点 的坐标;
(3)如图2,设 , 轴于 ,在线段 上是否存在点 ,使 ?若存在,求 的取值范围;若不存在,请说明理由.
抛物线 经过点 和点 .
(1)求该抛物线所对应的函数解析式;
(2)该抛物线与直线 相交于 、 两点,点 是抛物线上的动点且位于 轴下方,直线 轴,分别与 轴和直线 交于点 、 .
①连接 、 ,如图1,在点 运动过程中, 的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,说明理由;
②连接 ,过点 作 ,垂足为点 ,如图2,是否存在点 ,使得 与 相似?若存在,求出满足条件的点 的坐标;若不存在,说明理由.
如图1,抛物线 与 轴交于点 、 ,与 轴交于点 ,点 是抛物线上的动点,连接 、 , 与 轴交于点 .
(1)求该抛物线所对应的函数解析式;
(2)若点 的坐标为 ,请求出此时 的面积;
(3)过点 作 轴的平行线交 轴于点 ,交直线 于点 ,如图2.
①若 ,求证: ;
② 能否为等腰三角形?若能,请求出此时点 的坐标;若不能,请说明理由.
如图,已知抛物线 过点 , ,过定点 的直线 与抛物线交于 、 两点,点 在点 的右侧,过点 作 轴的垂线,垂足为 .
(1)求抛物线的解析式;
(2)当点 在抛物线上运动时,判断线段 与 的数量关系 、 、 ,并证明你的判断;
(3) 为 轴上一点,以 、 、 、 为顶点的四边形是菱形,设点 ,求自然数 的值;
(4)若 ,在直线 下方的抛物线上是否存在点 ,使得 的面积最大?若存在,求出点 的坐标及 的最大面积;若不存在,请说明理由.
如图,在平面直角坐标系中,抛物线 交 轴于 , 两点,交 轴于点 , .
(1)求抛物线的解析式;
(2)点 是线段 上任意一点,过 作直线 轴于点 ,交抛物线于点 ,求线段 的最大值;
(3)点 是抛物线上任意一点,连接 ,以 为边作正方形 ,是否存在点 使点 恰好落在对称轴上?若存在,请求出点 的坐标;若不存在,请说明理由.
如图1,对称轴为直线 的抛物线经过 、 两点,抛物线与 轴的另一交点为
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点 为第一象限内抛物线上的一点,设四边形 的面积为 ,求 的最大值;
(3)如图2,若 是线段 上一动点,在 轴是否存在这样的点 ,使 为等腰三角形且 为直角三角形?若存在,求出点 的坐标;若不存在,请说明理由.
如图,已知抛物线 的对称轴为直线 ,且抛物线经过 , 两点,与 轴交于点 .
(1)若直线 经过 、 两点,求直线 和抛物线的解析式;
(2)在抛物线的对称轴 上找一点 ,使点 到点 的距离与到点 的距离之和最小,求出点 的坐标;
(3)设点 为抛物线的对称轴 上的一个动点,求使 为直角三角形的点 的坐标.
如图所示,二次函数 的图象与一次函数 的图象交于 、 两点,点 在点 的右侧,直线 分别与 、 轴交于 、 两点,其中 .
(1)求 、 两点的横坐标;
(2)若 是以 为腰的等腰三角形,求 的值;
(3)二次函数图象的对称轴与 轴交于点 ,是否存在实数 ,使得 ,若存在,求出 的值;若不存在,说明理由.
如图1,已知平行四边形 顶点 的坐标为 ,点 在 轴上,且 轴,过 , , 三点的抛物线 的顶点坐标为 ,点 是线段 上一动点,直线 交 于点 .
(1)求抛物线的表达式;
(2)设四边形 的面积为 ,请求出 与 的函数关系式,并写出自变量 的取值范围;
(3)如图2,过点 作 轴,垂足为 ,交直线 于 ,过点 作 轴,垂足为 ,连接 ,直线 分别交 轴, 轴于点 , ,试求线段 的最小值,并直接写出此时 的值.
抛物线 与 轴交于点 , (点 在点 的左侧),与 轴交于点 ,其顶点为 .将抛物线位于直线 上方的部分沿直线 向下翻折,抛物线剩余部分与翻折后所得图形组成一个“ ”形的新图象.
(1)点 , , 的坐标分别为 , , ;
(2)如图①,抛物线翻折后,点 落在点 处.当点 在 内(含边界)时,求 的取值范围;
(3)如图②,当 时,若 是“ ”形新图象上一动点,是否存在以 为直径的圆与 轴相切于点 ?若存在,求出点 的坐标;若不存在,请说明理由.
如图,已知抛物线交 轴于 、 两点,交 轴于 点, 点坐标为 , , ,点 为抛物线的顶点.
(1)求抛物线的解析式;
(2) 为坐标平面内一点,以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形,求 点坐标;
(3)若抛物线上有且仅有三个点 、 、 使得△ 、△ 、△ 的面积均为定值 ,求出定值 及 、 、 这三个点的坐标.
如图,已知抛物线 经过 的三个顶点,其中点 ,点 , 轴,点 是直线 下方抛物线上的动点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)过点 且与 轴平行的直线 与直线 、 分别交于点 、 ,当四边形 的面积最大时,求点 的坐标;
(3)当点 为抛物线的顶点时,在直线 上是否存在点 ,使得以 、 、 为顶点的三角形与 相似,若存在,求出点 的坐标,若不存在,请说明理由.
如图,抛物线 的图象经过点 ,点 ,点 ,与 轴交于点 ,作直线 ,连接 , .
(1)求抛物线的函数表达式;
(2) 是抛物线上的点,求满足 的点 的坐标;
(3)点 在 轴上且位于点 上方,点 在直线 上,点 为第一象限内抛物线上一点,若以点 , , , 为顶点的四边形是菱形,求菱形的边长.