如图,以 为顶点的抛物线 交 轴于 、 两点,交 轴于点 ,直线 的表达式为 .
(1)求抛物线的表达式;
(2)在直线 上有一点 ,使 的值最小,求点 的坐标;
(3)在 轴上是否存在一点 ,使得以 、 、 为顶点的三角形与 相似?若存在,请求出点 的坐标;若不存在,请说明理由.
如图,已知抛物线 的对称轴为直线 ,且抛物线与 轴交于 、 两点,与 轴交于 点,其中 , .
(1)若直线 经过 、 两点,求直线 和抛物线的解析式;
(2)在抛物线的对称轴 上找一点 ,使点 到点 的距离与到点 的距离之和最小,求出点 的坐标;
(3)设点 为抛物线的对称轴 上的一个动点,求使 为直角三角形的点 的坐标.
如图,抛物线 , 、 为常数)与 轴交于 、 两点,与 轴交于 点,直线 的函数关系式为 .
(1)求该抛物线的函数关系式与 点坐标;
(2)已知点 是线段 上的一个动点,过点 作 轴的垂线 分别与直线 和抛物线交于 、 两点,当 为何值时, 恰好是以 为底边的等腰三角形?
(3)在(2)问条件下,当 恰好是以 为底边的等腰三角形时,动点 相应位置记为点 ,将 绕原点 顺时针旋转得到 (旋转角在 到 之间);
.探究:线段 上是否存在定点 不与 、 重合),无论 如何旋转, 始终保持不变.若存在,试求出 点坐标;若不存在,请说明理由;
.试求出此旋转过程中, 的最小值.
如图1,抛物线 ,经过 、 两点,交 轴于 点,以 为边在 轴上方作等边 .
(1)求抛物线的解析式;
(2)在 轴上方的抛物线上是否存在点 ,是 ?若存在,请求出点 的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)如图2, 是线段 上的动点, 是线段 上的动点, 与 相交于点 .
①若 ,试猜想 与 的数量关系及 的度数,并说明理由;
②若 ,当点 由 运动到 时,请直接写出点 经过的路径长(不需要写过程).
如图,抛物线 经过点 , ,并与 轴交于点 ,点 是抛物线对称轴 上任意一点(点 , , 三点不在同一直线上).
(1)求该抛物线所表示的二次函数的表达式;
(2)在抛物线上找出两点 , ,使得△ 与 全等,并求出点 , 的坐标;
(3)在对称轴上是否存在点 ,使得 为直角,若存在,作出点 (用尺规作图,保留作图痕迹),并求出点 的坐标.
如图,已知直角坐标系中, 、 、 三点的坐标分别为 , , ,点 与点 关于 轴对称,连接 、 .
(1)求过 、 、 三点的抛物线的解析式;
(2)有一动点 从原点 出发,以每秒2个单位的速度向右运动,过点 作 轴的垂线,交抛物线于点 ,交线段 于点 ,连接 、 ,设点 运动的时间为 秒,求四边形 的面积 与 的函数关系式,并求出四边形 的最大面积;
(3)抛物线的对称轴上是否存在一点 ,使得 是直角三角形?若存在,请直接写出点 的坐标;若不存在,请说明理由.
如图, 的圆心 , 经过坐标原点 ,与 轴交于点 .经过点 的一条直线 解析式为: 与 轴交于点 ,以 为顶点的抛物线经过 轴上点 和点 .
(1)求抛物线的解析式;
(2)求证:直线 是 的切线;
(3)点 为抛物线上一动点,且 与直线 垂直,垂足为 ; 轴,交直线 于点 ,是否存在这样的点 ,使 的面积最小.若存在,请求出此时点 的坐标及 面积的最小值;若不存在,请说明理由.
如图,已知 的圆心为点 ,抛物线 过点 ,与 交于 、 两点,连接 、 ,且 , 、 两点的纵坐标分别是2、1.
(1)请直接写出点 的坐标,并求 、 的值;
(2)直线 经过点 ,与 轴交于点 .点 (与点 不重合)在该直线上,且 ,请判断点 是否在此抛物线上,并说明理由;
(3)如果直线 与 相切,请直接写出满足此条件的直线解析式.
我们知道,经过原点的抛物线可以用 表示,对于这样的抛物线:
(1)当抛物线经过点 和 时,求抛物线的表达式;
(2)当抛物线的顶点在直线 上时,求 的值;
(3)如图,现有一组这样的抛物线,它们的顶点 、 、 , 在直线 上,横坐标依次为 , , , , 为正整数,且 ,分别过每个顶点作 轴的垂线,垂足记为 、 , , ,以线段 为边向左作正方形 ,如果这组抛物线中的某一条经过点 ,求此时满足条件的正方形 的边长.
如图,在平面直角坐标系中,二次函数的图象交坐标轴于 , , 三点,点 是直线 下方抛物线上一动点.
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)是否存在点 ,使 是以 为底边的等腰三角形?若存在,求出 点坐标;若不存在,请说明理由;
(3)动点 运动到什么位置时, 面积最大,求出此时 点坐标和 的最大面积.
如图甲,直线 与 轴、 轴分别交于点 、点 ,经过 、 两点的抛物线 与 轴的另一个交点为 ,顶点为 .
(1)求该抛物线的解析式;
(2)在该抛物线的对称轴上是否存在点 ,使以 , , 为顶点的三角形为等腰三角形?若存在,请直接写出所符合条件的点 的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)当 时,在抛物线上求一点 ,使 的面积有最大值(图乙、丙供画图探究).
如图,在平面直角坐标系中, 的三个顶点分别是 , , , .抛物线 经过点 ,且对称轴为 ,并与 轴交于点 .
(1)求抛物线的解析式及点 的坐标;
(2)将 沿 轴向右平移 个单位,使 点移到点 ,然后将三角形绕点 顺时针旋转 得到 .若点 恰好落在抛物线上.
①求 的值;
②连接 交 轴于点 ,连接 ,过 作 ,交 于点 ,求证: .
如图,在平面直角坐标系中, 的三个顶点分别是 , , , .抛物线 经过点 ,且对称轴为 ,并与 轴交于点 .
(1)求抛物线的解析式及点 的坐标;
(2)将 沿 轴向右平移 个单位,使 点移到点 ,然后将三角形绕点 顺时针旋转 得到 .若点 恰好落在抛物线上.
①求 的值;
②连接 交 轴于点 ,连接 ,过 作 ,交 于点 ,求证: .
如图,抛物线 经过 , 两点,与 轴交于点 .
(1)求抛物线的解析式及顶点 的坐标;
(2)点 在抛物线的对称轴上,当 的周长最小时,求出点 的坐标;
(3)点 在抛物线上,点 在抛物线的对称轴上,是否存在以点 为直角顶点的 与 相似?若存在,请求出所有符合条件的点 的坐标;若不存在,请说明理由.