初中数学二次函数综合题试题

如图1，已知一次函数 $y=x+3$的图象与 $x$轴、 $y$轴分别交于 $A$、 $B$两点，抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$过 $A$、 $B$两点，且与 $x$轴交于另一点 $C$．

（1）求 $b$、 $c$的值；

（2）如图1，点 $D$为 $\mathit{AC}$的中点，点 $E$在线段 $\mathit{BD}$上，且 $\mathit{BE}=2\mathit{ED}$，连接 $\mathit{CE}$并延长交抛物线于点 $M$，求点 $M$的坐标；

（3）将直线 $\mathit{AB}$绕点 $A$按逆时针方向旋转 $15°$后交 $y$轴于点 $G$，连接 $\mathit{CG}$，如图2， $P$为 $\mathit{\Delta ACG}$内一点，连接 $\mathit{PA}$、 $\mathit{PC}$、 $\mathit{PG}$，分别以 $\mathit{AP}$、 $\mathit{AG}$为边，在他们的左侧作等边 $\mathit{\Delta APR}$，等边 $\mathit{\Delta AGQ}$，连接 $\mathit{QR}$

①求证： $\mathit{PG}=\mathit{RQ}$；

②求 $\mathit{PA}+\mathit{PC}+\mathit{PG}$的最小值，并求出当 $\mathit{PA}+\mathit{PC}+\mathit{PG}$取得最小值时点 $P$的坐标．

如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象经过点 $A(-1,0)$， $B(0,-\sqrt{3})$， $C(2,0)$，其对称轴与 $x$轴交于点 $D$

（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；

（2）若 $P$为 $y$轴上的一个动点，连接 $\mathit{PD}$，则 $\frac{1}{2}\mathit{PB}+\mathit{PD}$的最小值为　      　；

（3） $M(x,t)$为抛物线对称轴上一动点

①若平面内存在点 $N$，使得以 $A$， $B$， $M$， $N$为顶点的四边形为菱形，则这样的点 $N$共有　　个；

②连接 $\mathit{MA}$， $\mathit{MB}$，若 $\angle \mathit{AMB}$不小于 $60°$，求 $t$的取值范围．

已知两个二次函数 $y_1=x^2+\mathit{bx}+c$和 $y_2=x^2+m$．对于函数 $y_1$，当 $x=2$时，该函数取最小值．

（1）求 $b$的值；

（2）若函数 $y_1$的图象与坐标轴只有2个不同的公共点，求这两个公共点间的距离；

（3）若函数 $y_1$、 $y_2$的图象都经过点 $(1,-2)$，过点 $(0$， $a-3\left)\right(a$为实数）作 $x$轴的平行线，与函数 $y_1$、 $y_2$的图象共有4个不同的交点，这4个交点的横坐标分别是 $x_1$、 $x_2$、 $x_3$、 $x_4$，且 $x_1<x_2<x_3<x_4$，求 $x_4-x_3+x_2-x_1$的最大值．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，将二次函数 $y=x^2-1$的图象 $M$沿 $x$轴翻折，把所得到的图象向右平移2个单位长度后再向上平移8个单位长度，得到二次函数图象 $N$．

（1）求 $N$的函数表达式；

（2）设点 $P(m,n)$是以点 $C(1,4)$为圆心、1为半径的圆上一动点，二次函数的图象 $M$与 $x$轴相交于两点 $A$、 $B$，求 $P{A}^2+P{B}^2$的最大值；

（3）若一个点的横坐标与纵坐标均为整数，则该点称为整点．求 $M$与 $N$所围成封闭图形内（包括边界）整点的个数．

如图，直线 $l:y=-3x+3$与 $x$轴、 $y$轴分别相交于 $A$、 $B$两点，抛物线 $y=a{x}^2-2\mathit{ax}+a+4(a<0)$经过点 $B$．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）已知点 $M$是抛物线上的一个动点，并且点 $M$在第一象限内，连接 $\mathit{AM}$、 $\mathit{BM}$，设点 $M$的横坐标为 $m$， $\mathit{\Delta ABM}$的面积为 $S$，求 $S$与 $m$的函数表达式，并求出 $S$的最大值；

（3）在（2）的条件下，当 $S$取得最大值时，动点 $M$相应的位置记为点 $M\text{'}$．

①写出点 $M\text{'}$的坐标；

②将直线 $l$绕点 $A$按顺时针方向旋转得到直线 $l\text{'}$，当直线 $l\text{'}$与直线 $\mathit{AM}\text{'}$重合时停止旋转，在旋转过程中，直线 $l\text{'}$与线段 $\mathit{BM}\text{'}$交于点 $C$，设点 $B$、 $M\text{'}$到直线 $l\text{'}$的距离分别为 $d_1$、 $d_2$，当 $d_1+d_2$最大时，求直线 $l\text{'}$旋转的角度（即 $\angle \mathit{BAC}$的度数）．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+2(a\ne 0)$与 $x$轴交于 $A$， $B$两点（点 $A$在点 $B$的左侧），与 $y$轴交于点 $C$，抛物线经过点 $D(-2,-3)$和点 $E(3,2)$，点 $P$是第一象限抛物线上的一个动点．

（1）求直线 $\mathit{DE}$和抛物线的表达式；

（2）在 $y$轴上取点 $F(0,1)$，连接 $\mathit{PF}$， $\mathit{PB}$，当四边形 $\mathit{OBPF}$的面积是7时，求点 $P$的坐标；

（3）在（2）的条件下，当点 $P$在抛物线对称轴的右侧时，直线 $\mathit{DE}$上存在两点 $M$， $N$（点 $M$在点 $N$的上方），且 $\mathit{MN}=2\sqrt{2}$，动点 $Q$从点 $P$出发，沿 $P\to M\to N\to A$的路线运动到终点 $A$，当点 $Q$的运动路程最短时，请直接写出此时点 $N$的坐标．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$经过点 $A(-1,0)$和点 $C(0,4)$，交 $x$轴正半轴于点 $B$，连接 $\mathit{AC}$，点 $E$是线段 $\mathit{OB}$上一动点（不与点 $O$， $B$重合），以 $\mathit{OE}$为边在 $x$轴上方作正方形 $\mathit{OEFG}$，连接 $\mathit{FB}$，将线段 $\mathit{FB}$绕点 $F$逆时针旋转 $90°$，得到线段 $\mathit{FP}$，过点 $P$作 $\mathit{PH}//y$轴， $\mathit{PH}$交抛物线于点 $H$，设点 $E(a,0)$．

（1）求抛物线的解析式．

（2）若 $\mathit{\Delta AOC}$与 $\mathit{\Delta FEB}$相似，求 $a$的值．

（3）当 $\mathit{PH}=2$时，求点 $P$的坐标．

如图1，在平面直角坐标系中，一次函数 $y=-\frac{3}{4}x+3$的图象与 $x$轴交于点 $A$，与 $y$轴交于 $B$点，抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$经过 $A$， $B$两点，在第一象限的抛物线上取一点 $D$，过点 $D$作 $\mathit{DC}\perp x$轴于点 $C$，交直线 $\mathit{AB}$于点 $E$．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）是否存在点 $D$，使得 $\mathit{\Delta BDE}$和 $\mathit{\Delta ACE}$相似？若存在，请求出点 $D$的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）如图2， $F$是第一象限内抛物线上的动点（不与点 $D$重合），点 $G$是线段 $\mathit{AB}$上的动点．连接 $\mathit{DF}$， $\mathit{FG}$，当四边形 $\mathit{DEGF}$是平行四边形且周长最大时，请直接写出点 $G$的坐标．

如图，直线 $y=-x+4$与 $x$轴交于点 $B$，与 $y$轴交于点 $C$，抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$经过 $B$， $C$两点，与 $x$轴另一交点为 $A$．点 $P$以每秒 $\sqrt{2}$个单位长度的速度在线段 $\mathit{BC}$上由点 $B$向点 $C$运动（点 $P$不与点 $B$和点 $C$重合），设运动时间为 $t$秒，过点 $P$作 $x$轴垂线交 $x$轴于点 $E$，交抛物线于点 $M$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图①，过点 $P$作 $y$轴垂线交 $y$轴于点 $N$，连接 $\mathit{MN}$交 $\mathit{BC}$于点 $Q$，当 $\frac{\mathit{MQ}}{\mathit{NQ}}=\frac{1}{2}$时，求 $t$的值；

（3）如图②，连接 $\mathit{AM}$交 $\mathit{BC}$于点 $D$，当 $\mathit{\Delta PDM}$是等腰三角形时，直接写出 $t$的值．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+2$交 $x$轴于点 $A(-3,0)$和点 $B(1,0)$，交 $y$轴于点 $C$．

（1）求这个抛物线的函数表达式．

（2）点 $D$的坐标为 $(-1,0)$，点 $P$为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形 $\mathit{ADCP}$面积的最大值．

（3）点 $M$为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点 $N$，使 $\mathit{\Delta MNO}$为等腰直角三角形，且 $\angle \mathit{MNO}$为直角？若存在，请直接写出点 $N$的坐标；若不存在，请说明理由．

把函数 $C_1:y=a{x}^2-2\mathit{ax}-3a(a\ne 0)$的图象绕点 $P(m,0)$旋转 $180°$，得到新函数 $C_2$的图象，我们称 $C_2$是 $C_1$关于点 $P$的相关函数． $C_2$的图象的对称轴与 $x$轴交点坐标为 $(t,0)$．

（1）填空： $t$的值为　　（用含 $m$的代数式表示）

（2）若 $a=-1$，当 $\frac{1}{2}⩽x⩽t$时，函数 $C_1$的最大值为 $y_1$，最小值为 $y_2$，且 $y_1-y_2=1$，求 $C_2$的解析式；

（3）当 $m=0$时， $C_2$的图象与 $x$轴相交于 $A$， $B$两点（点 $A$在点 $B$的右侧）．与 $y$轴相交于点 $D$．把线段 $\mathit{AD}$原点 $O$逆时针旋转 $90°$，得到它的对应线段 $A\text{'}D\text{'}$，若线 $A\text{'}D\text{'}$与 $C_2$的图象有公共点，结合函数图象，求 $a$的取值范围．

如图，在平面直角坐标系中，直线 $y=2x+6$与 $x$轴交于点 $A$，与 $y$轴交点 $C$，抛物线 $y=-2x^2+\mathit{bx}+c$过 $A$， $C$两点，与 $x$轴交于另一点 $B$．

（1）求抛物线的解析式．

（2）在直线 $\mathit{AC}$上方的抛物线上有一动点 $E$，连接 $\mathit{BE}$，与直线 $\mathit{AC}$相交于点 $F$，当 $\mathit{EF}=\frac{1}{2}\mathit{BF}$时，求 $\sin \angle \mathit{EBA}$的值．

（3）点 $N$是抛物线对称轴上一点，在（2）的条件下，若点 $E$位于对称轴左侧，在抛物线上是否存在一点 $M$，使以 $M$， $N$， $E$， $B$为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点 $M$的坐标；若不存在，请说明理由．

抛物线 $y=-\frac{2}{9}{x}^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于 $A(-1,0)$， $B(5,0)$两点，顶点为 $C$，对称轴交 $x$轴于点 $D$，点 $P$为抛物线对称轴 $\mathit{CD}$上的一动点（点 $P$不与 $C$， $D$重合）．过点 $C$作直线 $\mathit{PB}$的垂线交 $\mathit{PB}$于点 $E$，交 $x$轴于点 $F$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当 $\mathit{\Delta PCF}$的面积为5时，求点 $P$的坐标；

（3）当 $\mathit{\Delta PCF}$为等腰三角形时，请直接写出点 $P$的坐标．

已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+8(a\ne 0)$经过点 $A(-3,-7)$， $B(3,5)$，顶点为点 $E$，抛物线的对称轴与直线 $\mathit{AB}$交于点 $C$．

（1）求直线 $\mathit{AB}$的解析式和抛物线的解析式．

（2）在抛物线上 $A$， $E$两点之间的部分（不包含 $A$， $E$两点），是否存在点 $D$，使得 $S_{\mathit{\Delta DAC}}=2S_{\mathit{\Delta DCE}}$？若存在，求出点 $D$的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）若点 $P$在抛物线上，点 $Q$在 $x$轴上，当以点 $A$， $E$， $P$， $Q$为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点 $P$的坐标．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $C_1:y=a{x}^2+\mathit{bx}-1$经过点 $A(-2,1)$和点 $B(-1,-1)$，抛物线 $C_2:y=2x^2+x+1$，动直线 $x=t$与抛物线 $C_1$交于点 $N$，与抛物线 $C_2$交于点 $M$．

（1）求抛物线 $C_1$的表达式；

（2）直接用含 $t$的代数式表示线段 $\mathit{MN}$的长；

（3）当 $\mathit{\Delta AMN}$是以 $\mathit{MN}$为直角边的等腰直角三角形时，求 $t$的值；

（4）在（3）的条件下，设抛物线 $C_1$与 $y$轴交于点 $P$，点 $M$在 $y$轴右侧的抛物线 $C_2$上，连接 $\mathit{AM}$交 $y$轴于点 $K$，连接 $\mathit{KN}$，在平面内有一点 $Q$，连接 $\mathit{KQ}$和 $\mathit{QN}$，当 $\mathit{KQ}=1$且 $\angle \mathit{KNQ}=\angle \mathit{BNP}$时，请直接写出点 $Q$的坐标．