把函数 $C_1:y=a{x}^2-2\mathit{ax}-3a(a\ne 0)$的图象绕点 $P(m,0)$旋转 $180°$，得到新函数 $C_2$的图象，我们称 $C_2$是 $C_1$关于点 $P$的相关函数． $C_2$的图象的对称轴与 $x$轴交点坐标为 $(t,0)$．

（1）填空： $t$的值为　　（用含 $m$的代数式表示）

（2）若 $a=-1$，当 $\frac{1}{2}⩽x⩽t$时，函数 $C_1$的最大值为 $y_1$，最小值为 $y_2$，且 $y_1-y_2=1$，求 $C_2$的解析式；

（3）当 $m=0$时， $C_2$的图象与 $x$轴相交于 $A$， $B$两点（点 $A$在点 $B$的右侧）．与 $y$轴相交于点 $D$．把线段 $\mathit{AD}$原点 $O$逆时针旋转 $90°$，得到它的对应线段 $A\text{'}D\text{'}$，若线 $A\text{'}D\text{'}$与 $C_2$的图象有公共点，结合函数图象，求 $a$的取值范围．