如图1，在平面直角坐标系中，一次函数 $y=-\frac{3}{4}x+3$的图象与 $x$轴交于点 $A$，与 $y$轴交于 $B$点，抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$经过 $A$， $B$两点，在第一象限的抛物线上取一点 $D$，过点 $D$作 $\mathit{DC}\perp x$轴于点 $C$，交直线 $\mathit{AB}$于点 $E$．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）是否存在点 $D$，使得 $\mathit{\Delta BDE}$和 $\mathit{\Delta ACE}$相似？若存在，请求出点 $D$的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）如图2， $F$是第一象限内抛物线上的动点（不与点 $D$重合），点 $G$是线段 $\mathit{AB}$上的动点．连接 $\mathit{DF}$， $\mathit{FG}$，当四边形 $\mathit{DEGF}$是平行四边形且周长最大时，请直接写出点 $G$的坐标．