抛物线 与 轴交于点 , 在 的左侧),与 轴交于点 .
(1)求直线 的解析式;
(2)抛物线的对称轴上存在点 ,使 ,利用图1求点 的坐标;
(3)点 在 轴右侧的抛物线上,利用图2比较 与 的大小,并说明理由.
已知抛物线 与 轴交于点 和点 .
(1)求抛物线 的函数解析式;
(2)如图①,将抛物线 沿 轴翻折得到抛物线 ,抛物线 与 轴交于点 ,点 是线段 上的一个动点,过点 作 轴交抛物线 于点 ,求线段 的长度的最大值;
(3)在(2)的条件下,当线段 处于长度最大值位置时,作线段 的垂直平分线交 于点 ,垂足为 ,点 是抛物线 上一动点, 与直线 相切,且 ,求满足条件的所有点 的坐标.
如图,已知抛物线 与坐标轴交于 , , 三点,其中 , 的平分线 交 轴于点 ,交 于点 ,过点 的直线 与射线 , 分别交于点 , .
(1)直接写出 的值、点 的坐标及抛物线的对称轴;
(2)点 为抛物线的对称轴上一动点,若 为等腰三角形,求出点 的坐标;
(3)证明:当直线 绕点 旋转时, 均为定值,并求出该定值.
如图,已知抛物线 经过点 、 和 , 垂直于 轴,交抛物线于点 , 垂直于 轴,垂足为 ,直线 是该抛物线的对称轴,点 是抛物线的顶点.
(1)求出该二次函数的表达式及点 的坐标;
(2)若 沿 轴向右平移,使其直角边 与对称轴 重合,再沿对称轴 向上平移到点 与点 重合,得到 △ ,求此时 △ 与矩形 重叠部分图形的面积;
(3)若 沿 轴向右平移 个单位长度 得到 △ , △ 与 重叠部分图形的面积记为 ,求 与 之间的函数表达式,并写出自变量 的取值范围.
如图,抛物线 交 轴于 , 两点,与 轴交于点 ,连接 , .点 是第一象限内抛物线上的一个动点,点 的横坐标为 .
(1)求此抛物线的表达式;
(2)过点 作 轴,垂足为点 , 交 于点 .试探究点 在运动过程中,是否存在这样的点 ,使得以 , , 为顶点的三角形是等腰三角形.若存在,请求出此时点 的坐标,若不存在,请说明理由;
(3)过点 作 ,垂足为点 .请用含 的代数式表示线段 的长,并求出当 为何值时 有最大值,最大值是多少?
二次函数 的图象交 轴于点 , 两点,交 轴于点 .动点 从点 出发,以每秒2个单位长度的速度沿 方向运动,过点 作 轴交直线 于点 ,交抛物线于点 ,连接 ,设运动的时间为 秒.
(1)求二次函数 的表达式;
(2)连接 ,当 时,求 的面积;
(3)在直线 上存在一点 ,当 是以 为直角的等腰直角三角形时,求此时点 的坐标;
(4)当 时,在直线 上存在一点 ,使得 ,求点 的坐标.
已知:抛物线 与 轴的一个交点为
(1)求抛物线与 轴的另一个交点 的坐标;
(2)点 是抛物线与 轴的交点,点 是抛物线上的一个点,且以 为一底的梯形 的面积为9,求此抛物线的解析式;
(3)点 是第二象限内到 轴、 轴的距离比为 的点,如果点 在(2)中的抛物线上且点 与点 在此抛物线对称轴的同侧.问:在抛物线的对称轴上是否存在点 ,使 的周长最小?若存在,求出点 的坐标;若不存在,请说明理由.
如图,抛物线 经过 , 两点,与 轴交于点 ,连接 , , .
(1)求抛物线的表达式;
(2)求证: 平分 ;
(3)抛物线的对称轴上是否存在点 ,使得 是以 为直角边的直角三角形,若存在,求出点 的坐标;若不存在,请说明理由.
如图,已知二次函数 的图象经过点 ,与 轴分别交于点 ,点 .点 是直线 上方的抛物线上一动点.
(1)求二次函数 的表达式;
(2)连接 , ,并把 沿 轴翻折,得到四边形 .若四边形 为菱形,请求出此时点 的坐标;
(3)当点 运动到什么位置时,四边形 的面积最大?求出此时 点的坐标和四边形 的最大面积.
已知抛物线与 轴交于 、 , 两点,与 轴交于点 ,过抛物线上点 作 轴于点 ,连接 .
(1)求此抛物线的解析式;
(2)如图1,将 沿 轴向右平移 个单位 到△ 的位置, 、 与直线 分别交于点 、 .
①当点 为 的中点时,求 的值;
②如图2,若直线 与抛物线相交于点 ,过点 作 交 于点 ,试确定线段 是否存在最大值?若存在,求出它的最大值及此时 的值;若不存在,请说明理由.
如图,已知二次函数 过 , 两点.
(1)求二次函数 的解析式;
(2)将 沿 轴翻折,再向右平移2个单位,得到抛物线 ,直线 交 于 、 两点,求线段 的长度(用含 的代数式表示);
(3)在(2)的条件下, 、 交于 、 两点,如果直线 与 、 的图象形成的封闭曲线交于 、 两点 在左侧),直线 与 、 的图象形成的封闭曲线交于 、 两点 在左侧),求证:四边形 是平行四边形.
已知,抛物线 经过点 点
(1)求抛物线 的解析式和顶点坐标;
(2)知图1,连接 ,在 轴上确定一点 ,使得 ,求出点 的坐标;
(3)将抛物线 向左平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到抛物线 ,直线 与抛物线 交于点 , , , ,连接 , ,若 ,在图2中画出平面直角坐标系并求 .
如图,抛物线 与 轴交于 、 两点, 点坐标为 ,与 轴交于点
(1)求抛物线的解析式;
(2)点 在抛物线位于第四象限的部分上运动,当四边形 的面积最大时,求点 的坐标和四边形 的最大面积.
(3)直线 经过 、 两点,点 在抛物线位于 轴左侧的部分上运动,直线 经过点 和点 ,是否存在直线 ,使得直线 、 与 轴围成的三角形和直线 、 与 轴围成的三角形相似?若存在,求出直线 的解析式,若不存在,请说明理由.
已知抛物线 ,直线 ,当 时,抛物线 与直线 只有一个公共点.
(1)求 的值;
(2)若直线 与抛物线 交于不同的两点 , ,直线 与直线 交于点 ,且 ,求 的值;
(3)在(2)的条件下,设直线 与 轴交于点 ,问:是否在实数 使 ?若存在,求 的值,若不存在,说明理由.