二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+2$的图象交 $x$轴于点 $(-1,0)$， $B(4,0)$两点，交 $y$轴于点 $C$．动点 $M$从点 $A$出发，以每秒2个单位长度的速度沿 $\mathit{AB}$方向运动，过点 $M$作 $\mathit{MN}\perp x$轴交直线 $\mathit{BC}$于点 $N$，交抛物线于点 $D$，连接 $\mathit{AC}$，设运动的时间为 $t$秒．

（1）求二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+2$的表达式；

（2）连接 $\mathit{BD}$，当 $t=\frac{3}{2}$时，求 $\mathit{\Delta DNB}$的面积；

（3）在直线 $\mathit{MN}$上存在一点 $P$，当 $\mathit{\Delta PBC}$是以 $\angle \mathit{BPC}$为直角的等腰直角三角形时，求此时点 $D$的坐标；

（4）当 $t=\frac{5}{4}$时，在直线 $\mathit{MN}$上存在一点 $Q$，使得 $\angle \mathit{AQC}+\angle \mathit{OAC}=90°$，求点 $Q$的坐标．