已知：抛物线yax24axm(a<0)与x轴的一个交点为A(

更新 2022-09-04
科目数学
题型解答题
难度较难
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已知：抛物线 $y = a x^{2} + 4 ax + m (a > 0)$ 与 $x$ 轴的一个交点为 $A (- 1, 0)$

（1）求抛物线与 $x$ 轴的另一个交点 $B$ 的坐标；

（2）点 $D$ 是抛物线与 $y$ 轴的交点，点 $C$ 是抛物线上的一个点，且以 $AB$ 为一底的梯形 $ABCD$ 的面积为9，求此抛物线的解析式；

（3）点 $E$ 是第二象限内到 $x$ 轴、 $y$ 轴的距离比为 $5 : 2$ 的点，如果点 $E$ 在（2）中的抛物线上且点 $E$ 与点 $A$ 在此抛物线对称轴的同侧．问：在抛物线的对称轴上是否存在点 $P$ ，使 $ΔAPE$ 的周长最小？若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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已知等边三角形 $ABC$ ，过 $A$ 点作 $AC$ 的垂线 $l$ ，点 $P$ 为 $l$ 上一动点（不与点 $A$ 重合），连接 $CP$ ，把线段 $CP$ 绕点 $C$ 逆时针方向旋转 $60 °$ 得到 $CQ$ ，连 $QB$ ．

（1）如图1，直接写出线段 $AP$ 与 $BQ$ 的数量关系；

（2）如图2，当点 $P$ 、 $B$ 在 $AC$ 同侧且 $AP = AC$ 时，求证：直线 $PB$ 垂直平分线段 $CQ$ ；

（3）如图3，若等边三角形 $ABC$ 的边长为4，点 $P$ 、 $B$ 分别位于直线 $AC$ 异侧，且 $ΔAPQ$ 的面积等于 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ ，求线段 $AP$ 的长度．

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某商贸公司购进某种商品的成本为20元 $/ kg$ ，经过市场调研发现，这种商品在未来40天的销售单价 $y$ （元 $/ kg)$ 与时间 $x$ （天 $)$ 之间的函数关系式为： $y = \{\begin{matrix} 0.25 x + 30 (1 ⩽ x ⩽ 20 且 x 为整数) \\ 35 (20 < x ⩽ 40 且 x 为整数) \end{matrix}$ ，且日销量 $m (kg)$ 与时间 $x$ （天 $)$ 之间的变化规律符合一次函数关系，如下表：

时间 $x$ （天 $)$	1	3	6	10	$\dots$
日销量 $m (kg)$	142	138	132	124	$\dots$

（1）填空： $m$ 与 $x$ 的函数关系为　　；

（2）哪一天的销售利润最大？最大日销售利润是多少？

（3）在实际销售的前20天中，公司决定每销售 $1 kg$ 商品就捐赠 $n$ 元利润 $(n < 4)$ 给当地福利院，后发现：在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间 $x$ 的增大而增大，求 $n$ 的取值范围．

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（1）求证： $DF$ 是 $⊙ O$ 的切线；

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（2）若 $CF = 2$ ， $∠ FAC = 30 °$ ， $∠ B = 45 °$ ，求 $AB$ 的长．

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