如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+4$交 $x$轴于 $A(-3,0)$， $B(4,0)$两点，与 $y$轴交于点 $C$，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$．点 $P$是第一象限内抛物线上的一个动点，点 $P$的横坐标为 $m$．

（1）求此抛物线的表达式；

（2）过点 $P$作 $\mathit{PM}\perp x$轴，垂足为点 $M$， $\mathit{PM}$交 $\mathit{BC}$于点 $Q$．试探究点 $P$在运动过程中，是否存在这样的点 $Q$，使得以 $A$， $C$， $Q$为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点 $Q$的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）过点 $P$作 $\mathit{PN}\perp \mathit{BC}$，垂足为点 $N$．请用含 $m$的代数式表示线段 $\mathit{PN}$的长，并求出当 $m$为何值时 $\mathit{PN}$有最大值，最大值是多少？