如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于 $A(-1,0)$， $B(4,0)$， $C(0,-4)$三点，点 $P$是直线 $\mathit{BC}$下方抛物线上一动点．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）是否存在点 $P$，使 $\mathit{\Delta POC}$是以 $\mathit{OC}$为底边的等腰三角形？若存在，求出 $P$点坐标；若不存在，请说明理由；

（3）动点 $P$运动到什么位置时， $\mathit{\Delta PBC}$面积最大，求出此时 $P$点坐标和 $\mathit{\Delta PBC}$的最大面积．