如图1，抛物线yax2bx74，经过A(1,0)、B(7,0

如图1，抛物线 $y = a x^{2} + bx + \frac{7}{4}$ ，经过 $A (1, 0)$ 、 $B (7, 0)$ 两点，交 $y$ 轴于 $D$ 点，以 $AB$ 为边在 $x$ 轴上方作等边 $ΔABC$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在 $x$ 轴上方的抛物线上是否存在点 $M$ ，是 $S_{ΔABM} = \frac{4 \sqrt{3}}{9} S_{ΔABC}$ ？若存在，请求出点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图2， $E$ 是线段 $AC$ 上的动点， $F$ 是线段 $BC$ 上的动点， $AF$ 与 $BE$ 相交于点 $P$ ．

①若 $CE = BF$ ，试猜想 $AF$ 与 $BE$ 的数量关系及 $∠ APB$ 的度数，并说明理由；

②若 $AF = BE$ ，当点 $E$ 由 $A$ 运动到 $C$ 时，请直接写出点 $P$ 经过的路径长（不需要写过程）．

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如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知一次函数 $y = \frac{3}{2} x + b$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{12}{x}$ 的图象相交于 $A$ ， $B$ 两点，且点 $A$ 的坐标为 $(a, 6)$ ．

（1）求该一次函数的解析式；

（2）求 $ΔAOB$ 的面积．

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