如图1，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+\frac{7}{4}$，经过 $A(1,0)$、 $B(7,0)$两点，交 $y$轴于 $D$点，以 $\mathit{AB}$为边在 $x$轴上方作等边 $\mathit{\Delta ABC}$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在 $x$轴上方的抛物线上是否存在点 $M$，是 $S_{\mathit{\Delta ABM}}=\frac{4\sqrt{3}}{9}{S}_{\mathit{\Delta ABC}}$？若存在，请求出点 $M$的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图2， $E$是线段 $\mathit{AC}$上的动点， $F$是线段 $\mathit{BC}$上的动点， $\mathit{AF}$与 $\mathit{BE}$相交于点 $P$．

①若 $\mathit{CE}=\mathit{BF}$，试猜想 $\mathit{AF}$与 $\mathit{BE}$的数量关系及 $\angle \mathit{APB}$的度数，并说明理由；

②若 $\mathit{AF}=\mathit{BE}$，当点 $E$由 $A$运动到 $C$时，请直接写出点 $P$经过的路径长（不需要写过程）．