初中数学二次函数的性质解答题

已知抛物线 $y=-x^2+2x+8$与 $x$轴交于点 $A$、 $B$（点 $A$在点 $B$的左侧），与 $y$轴交于点 $C$．

（1）求点 $B$、 $C$的坐标；

（2）设点 $C\text{'}$与点 $C$关于该抛物线的对称轴对称．在 $y$轴上是否存在点 $P$，使 $\mathit{\Delta PCC}\text{'}$与 $\mathit{\Delta POB}$相似，且 $\mathit{PC}$与 $\mathit{PO}$是对应边？若存在，求出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点， $B$点坐标为 $(4,0)$，与 $y$轴交于点 $C(0,4)$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $P$在 $x$轴下方的抛物线上，过点 $P$的直线 $y=x+m$与直线 $\mathit{BC}$交于点 $E$，与 $y$轴交于点 $F$，求 $\mathit{PE}+\mathit{EF}$的最大值；

（3）点 $D$为抛物线对称轴上一点．

①当 $\mathit{\Delta BCD}$是以 $\mathit{BC}$为直角边的直角三角形时，直接写出点 $D$的坐标；

②若 $\mathit{\Delta BCD}$是锐角三角形，直接写出点 $D$的纵坐标 $n$的取值范围．

如图1，抛物线 $y=a{x}^2-2\mathit{ax}-3a(a\ne 0)$与 $x$轴交于点 $A$， $B$．与 $y$轴交于点 $C$．连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$．已知 $\mathit{\Delta ABC}$的面积为2．

（1）求抛物线的解析式；

（2）平行于 $x$轴的直线与抛物线从左到右依次交于 $P$， $Q$两点．过 $P$， $Q$向 $x$轴作垂线，垂足分别为 $G$， $H$．若四边形 $\mathit{PGHQ}$为正方形，求正方形的边长；

（3）如图2，平行于 $y$轴的直线交抛物线于点 $M$，交 $x$轴于点 $N$ $(2,0)$．点 $D$是抛物线上 $A$， $M$之间的一动点，且点 $D$不与 $A$， $M$重合，连接 $\mathit{DB}$交 $\mathit{MN}$于点 $E$．连接 $\mathit{AD}$并延长交 $\mathit{MN}$于点 $F$．在点 $D$运动过程中， $3\mathit{NE}+\mathit{NF}$是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

如图，抛物线的顶点为 $A(h,-1)$ ，与 $y$ 轴交于点 $B(0,-\frac{1}{2})$ ，点 $F(2,1)$ 为其对称轴上的一个定点．

（1）求这条抛物线的函数解析式；

（2）已知直线 $l$ 是过点 $C(0,-3)$ 且垂直于 $y$ 轴的定直线，若抛物线上的任意一点 $P(m,n)$ 到直线 $l$ 的距离为 $d$ ，求证： $\mathit{PF}=d$ ；

（3）已知坐标平面内的点 $D(4,3)$ ，请在抛物线上找一点 $Q$ ，使 $\mathit{\Delta DFQ}$ 的周长最小，并求此时 $\mathit{\Delta DFQ}$ 周长的最小值及点 $Q$ 的坐标．

抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$经过点 $A(-3,0)$和点 $B(2,0)$，与 $y$轴交于点 $C$．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）点 $P$是该抛物线上的动点，且位于 $y$轴的左侧．

①如图1，过点 $P$作 $\mathit{PD}\perp x$轴于点 $D$，作 $\mathit{PE}\perp y$轴于点 $E$，当 $\mathit{PD}=2\mathit{PE}$时，求 $\mathit{PE}$的长；

②如图2，该抛物线上是否存在点 $P$，使得 $\angle \mathit{ACP}=\angle \mathit{OCB}$？若存在，请求出所有点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $C_1:y=x^2-2x$与抛物线 $C_2:y=a{x}^2+\mathit{bx}$开口大小相同、方向相反，它们相交于 $O$， $C$两点，且分别与 $x$轴的正半轴交于点 $B$，点 $A$， $\mathit{OA}=2\mathit{OB}$．

（1）求抛物线 $C_2$的解析式；

（2）在抛物线 $C_2$的对称轴上是否存在点 $P$，使 $\mathit{PA}+\mathit{PC}$的值最小？若存在，求出点 $P$的坐标，若不存在，说明理由；

（3） $M$是直线 $\mathit{OC}$上方抛物线 $C_2$上的一个动点，连接 $\mathit{MO}$， $\mathit{MC}$， $M$运动到什么位置时， $\mathit{\Delta MOC}$面积最大？并求出最大面积．

我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于 $y$轴对称，则把该函数称之为“ $T$函数”，其图象上关于 $y$轴对称的不同两点叫做一对“ $T$点”．根据该约定，完成下列各题．

（1）若点 $A(1,r)$与点 $B(s,4)$是关于 $x$的“ $T$函数” $y=\left\{\begin{array}{c}-\frac{4}{x}(x<0)\\ t{x}^2\left(x⩾0,t\ne 0,t\mathit{是常数}\right)\end{array}\right.$的图象上的一对“ $T$点”，则 $r=$　　， $s=$　　， $t=$　　（将正确答案填在相应的横线上）；

（2）关于 $x$的函数 $y=\mathit{kx}+p(k$， $p$是常数）是“ $T$函数”吗？如果是，指出它有多少对“ $T$点”如果不是，请说明理由；

（3）若关于 $x$的“ $T$函数” $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a>0$，且 $a$， $b$， $c$是常数）经过坐标原点 $O$，且与直线 $l:y=\mathit{mx}+n(m\ne 0$， $n>0$，且 $m$， $n$是常数）交于 $M(x_1$， $y_1)$， $N(x_2$， $y_2)$两点，当 $x_1$， $x_2$满足 ${(1-x_1)}^{-1}+x_2=1$时，直线 $l$是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理由．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-1$与 $x$轴的交点为 $A(-1,0)$， $B(2,0)$，且与 $y$轴交于 $C$点．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）点 $C$关于 $x$轴的对称点为 $C_1$， $M$是线段 $B{C}_1$上的一个动点（不与 $B$、 $C_1$重合）， $\mathit{ME}\perp x$轴， $\mathit{MF}\perp y$轴，垂足分别为 $E$、 $F$，当点 $M$在什么位置时，矩形 $\mathit{MFOE}$的面积最大？说明理由．

（3）已知点 $P$是直线 $y=\frac{1}{2}x+1$上的动点，点 $Q$为抛物线上的动点，当以 $C$、 $C_1$、 $P$、 $Q$为顶点的四边形为平行四边形时，求出相应的点 $P$和点 $Q$的坐标．

已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+3$经过点 $A(1,0)$和点 $B(-3,0)$，与 $y$轴交于点 $C$，点 $P$为第二象限内抛物线上的动点．

（1）抛物线的解析式为　　，抛物线的顶点坐标为　　；

（2）如图1，连接 $\mathit{OP}$交 $\mathit{BC}$于点 $D$，当 $S_{\mathit{\Delta CPD}}:S_{\mathit{\Delta BPD}}=1:2$时，请求出点 $D$的坐标；

（3）如图2，点 $E$的坐标为 $(0,-1)$，点 $G$为 $x$轴负半轴上的一点， $\angle \mathit{OGE}=15°$，连接 $\mathit{PE}$，若 $\angle \mathit{PEG}=2\angle \mathit{OGE}$，请求出点 $P$的坐标；

（4）如图3，是否存在点 $P$，使四边形 $\mathit{BOCP}$的面积为8？若存在，请求出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，点 $O$为坐标原点，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的顶点是 $A(1,3)$，将 $\mathit{OA}$绕点 $O$顺时针旋转 $90°$后得到 $\mathit{OB}$，点 $B$恰好在抛物线上， $\mathit{OB}$与抛物线的对称轴交于点 $C$．

（1）求抛物线的解析式；

（2） $P$是线段 $\mathit{AC}$上一动点，且不与点 $A$， $C$重合，过点 $P$作平行于 $x$轴的直线，与 $\mathit{\Delta OAB}$的边分别交于 $M$， $N$两点，将 $\mathit{\Delta AMN}$以直线 $\mathit{MN}$为对称轴翻折，得到△ $A\text{'}\mathit{MN}$，设点 $P$的纵坐标为 $m$．

①当△ $A\text{'}\mathit{MN}$在 $\mathit{\Delta OAB}$内部时，求 $m$的取值范围；

②是否存在点 $P$，使 $S_{△A\text{'}\mathit{MN}}=\frac{5}{6}{S}_{△\mathit{OA}\text{'}B}$，若存在，求出满足条件 $m$的值；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y=\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$与直线 $y=\frac{1}{2}x+3$分别相交于 $A$， $B$两点，且此抛物线与 $x$轴的一个交点为 $C$，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$．已知 $A(0,3)$， $C(-3,0)$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线对称轴 $l$上找一点 $M$，使 $|\mathit{MB}-\mathit{MC}|$的值最大，并求出这个最大值；

（3）点 $P$为 $y$轴右侧抛物线上一动点，连接 $\mathit{PA}$，过点 $P$作 $\mathit{PQ}\perp \mathit{PA}$交 $y$轴于点 $Q$，问：是否存在点 $P$使得以 $A$， $P$， $Q$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta ABC}$相似？若存在，请求出所有符合条件的点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

在平面直角坐标系中，已知抛物线 $y＝x^2+\mathit{bx}+c$的顶点M的坐标为（﹣1，﹣4），且与x轴交于点A，点B（点A在点B的左边），与y轴交于点C．

（1）填空：b＝　　，c＝　　，直线AC的解析式为　　；

（2）直线 $x＝t$与x轴相交于点H．

①当 $t\mathit{＝﹣}3$时得到直线AN（如图1），点D为直线AC下方抛物线上一点，若 $\angle \mathit{COD}＝\angle \mathit{MAN}$，求出此时点D的坐标；

②当 $﹣3＜t\mathit{＜﹣}1$时（如图2），直线 $x＝t$与线段AC，AM和抛物线分别相交于点E，F，P．试证明线段HE，EF，FP总能组成等腰三角形；如果此等腰三角形底角的余弦值为 $\frac{3}{5}$，求此时t的值．

如图，在平面直角坐标系中， O为坐标原点，抛物线 $y＝a{x}^2+2\mathit{xa}+c$ 经过 A（﹣4，0）， B（0，4）两点，与 x轴交于另一点 C，直线 $y＝x+5$ 与 x轴交于点 D，与 y轴交于点 E．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 P是第二象限抛物线上的一个动点，连接 EP，过点 E作 EP的垂线 l，在 l上截取线段 EF，使 EF＝ EP，且点 F在第一象限，过点 F作 $\mathit{FM}\perp x$ 轴于点 M，设点 P的横坐标为 t，线段 FM的长度为 d，求 d与 t之间的函数关系式（不要求写出自变量 t的取值范围）；

（3）在（2）的条件下，过点 E作 $\mathit{EH}\perp \mathit{ED}$ 交 MF的延长线于点 H，连接 DH，点 G为 DH的中点，当直线 PG经过 AC的中点 Q时，求点 F的坐标．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于 $A(\sqrt{3}$， $0)$， $B$两点（点 $B$在点 $A$的左侧），与 $y$轴交于点 $C$，且 $\mathit{OB}=3\mathit{OA}=\sqrt{3}\mathit{OC}$， $\angle \mathit{OAC}$的平分线 $\mathit{AD}$交 $y$轴于点 $D$，过点 $A$且垂直于 $\mathit{AD}$的直线 $l$交 $y$轴于点 $E$，点 $P$是 $x$轴下方抛物线上的一个动点，过点 $P$作 $\mathit{PF}\perp x$轴，垂足为 $F$，交直线 $\mathit{AD}$于点 $H$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设点 $P$的横坐标为 $m$，当 $\mathit{FH}=\mathit{HP}$时，求 $m$的值；

（3）当直线 $\mathit{PF}$为抛物线的对称轴时，以点 $H$为圆心， $\frac{1}{2}\mathit{HC}$为半径作 $\odot H$，点 $Q$为 $\odot H$上的一个动点，求 $\frac{1}{4}\mathit{AQ}+\mathit{EQ}$的最小值．

已知二次函数 $y=-x^2+6x-5$ ．

（1）求二次函数图象的顶点坐标；

（2）当 $1⩽x⩽4$ 时，函数的最大值和最小值分别为多少？

（3）当 $t⩽x⩽t+3$ 时，函数的最大值为 $m$ ，最小值为 $n$ ，若 $m-n=3$ ，求 $t$ 的值．