初中数学二次函数的性质解答题

已知直线 $l_1:y=-2x+10$交 $y$轴于点 $A$，交 $x$轴于点 $B$，二次函数的图象过 $A$， $B$两点，交 $x$轴于另一点 $C$， $\mathit{BC}=4$，且对于该二次函数图象上的任意两点 $P_1(x_1$， $y_1)$， $P_2(x_2$， $y_2)$，当 $x_1>x_2⩾5$时，总有 $y_1>y_2$．

（1）求二次函数的表达式；

（2）若直线 $l_2:y=\mathit{mx}+n(n\ne 10)$，求证：当 $m=-2$时， $l_2//l_1$；

（3） $E$为线段 $\mathit{BC}$上不与端点重合的点，直线 $l_3:y=-2x+q$过点 $C$且交直线 $\mathit{AE}$于点 $F$，求 $\mathit{\Delta ABE}$与 $\mathit{\Delta CEF}$面积之和的最小值．

综合与探究

如图1所示，直线 $y=x+c$与 $x$轴交于点 $A(-4,0)$，与 $y$轴交于点 $C$，抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$经过点 $A$， $C$．

（1）求抛物线的解析式

（2）点 $E$在抛物线的对称轴上，求 $\mathit{CE}+\mathit{OE}$的最小值；

（3）如图2所示， $M$是线段 $\mathit{OA}$的上一个动点，过点 $M$垂直于 $x$轴的直线与直线 $\mathit{AC}$和抛物线分别交于点 $P$、 $N$．

①若以 $C$， $P$， $N$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta APM}$相似，则 $\mathit{\Delta CPN}$的面积为　　；

②若点 $P$恰好是线段 $\mathit{MN}$的中点，点 $F$是直线 $\mathit{AC}$上一个动点，在坐标平面内是否存在点 $D$，使以点 $D$， $F$， $P$， $M$为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点 $D$的坐标；若不存在，请说明理由．

注：二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的顶点坐标为 $(-\frac{b}{2a}$， $\frac{4\mathit{ac}-b^2}{4a})$

如图，抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点， $B$点坐标为 $(3,0)$，与 $y$轴交于点 $C(0,-3)$

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $P$在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形 $\mathit{ABPC}$的面积最大时，求点 $P$的坐标和四边形 $\mathit{ABPC}$的最大面积．

（3）直线 $l$经过 $A$、 $C$两点，点 $Q$在抛物线位于 $y$轴左侧的部分上运动，直线 $m$经过点 $B$和点 $Q$，是否存在直线 $m$，使得直线 $l$、 $m$与 $x$轴围成的三角形和直线 $l$、 $m$与 $y$轴围成的三角形相似？若存在，求出直线 $m$的解析式，若不存在，请说明理由．

已知，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+3(a<0)$与 $x$轴交于 $A(3,0)$、 $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$，抛物线的对称轴是直线 $x=1$， $D$为抛物线的顶点，点 $E$在 $y$轴 $C$点的上方，且 $\mathit{CE}=\frac{1}{2}$．

（1）求抛物线的解析式及顶点 $D$的坐标；

（2）求证：直线 $\mathit{DE}$是 $\mathit{\Delta ACD}$外接圆的切线；

（3）在直线 $\mathit{AC}$上方的抛物线上找一点 $P$，使 $S_{\mathit{\Delta ACP}}=\frac{1}{2}{S}_{\mathit{\Delta ACD}}$，求点 $P$的坐标；

（4）在坐标轴上找一点 $M$，使以点 $B$、 $C$、 $M$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta ACD}$相似，直接写出点 $M$的坐标．

已知如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，点 $A$、 $B$、 $C$分别为坐标轴上的三个点，且 $\mathit{OA}=1$， $\mathit{OB}=3$， $\mathit{OC}=4$，

（1）求经过 $A$、 $B$、 $C$三点的抛物线的解析式；

（2）在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中是否存在一点 $P$，使得以点 $A$、 $B$、 $C$、 $P$为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点 $M$为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出当 $|\mathit{PM}-\mathit{AM}|$的最大值时点 $M$的坐标，并直接写出 $|\mathit{PM}-\mathit{AM}|$的最大值．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$经过 $A(-2,0)$， $B(4,0)$， $C(0,4)$三点．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）经过点 $B$的直线交 $y$轴于点 $D$，交线段 $\mathit{AC}$于点 $E$，若 $\mathit{BD}=5\mathit{DE}$．

①求直线 $\mathit{BD}$的解析式；

②已知点 $Q$在该抛物线的对称轴 $l$上，且纵坐标为1，点 $P$是该抛物线上位于第一象限的动点，且在 $l$右侧，点 $R$是直线 $\mathit{BD}$上的动点，若 $\mathit{\Delta PQR}$是以点 $Q$为直角顶点的等腰直角三角形，求点 $P$的坐标．

如图，抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点， $B$点坐标为 $(4,0)$，与 $y$轴交于点 $C(0,4)$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $P$在 $x$轴下方的抛物线上，过点 $P$的直线 $y=x+m$与直线 $\mathit{BC}$交于点 $E$，与 $y$轴交于点 $F$，求 $\mathit{PE}+\mathit{EF}$的最大值；

（3）点 $D$为抛物线对称轴上一点．

①当 $\mathit{\Delta BCD}$是以 $\mathit{BC}$为直角边的直角三角形时，直接写出点 $D$的坐标；

②若 $\mathit{\Delta BCD}$是锐角三角形，直接写出点 $D$的纵坐标 $n$的取值范围．

抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$经过点 $A(-3,0)$和点 $B(2,0)$，与 $y$轴交于点 $C$．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）点 $P$是该抛物线上的动点，且位于 $y$轴的左侧．

①如图1，过点 $P$作 $\mathit{PD}\perp x$轴于点 $D$，作 $\mathit{PE}\perp y$轴于点 $E$，当 $\mathit{PD}=2\mathit{PE}$时，求 $\mathit{PE}$的长；

②如图2，该抛物线上是否存在点 $P$，使得 $\angle \mathit{ACP}=\angle \mathit{OCB}$？若存在，请求出所有点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $C_1:y=x^2-2x$与抛物线 $C_2:y=a{x}^2+\mathit{bx}$开口大小相同、方向相反，它们相交于 $O$， $C$两点，且分别与 $x$轴的正半轴交于点 $B$，点 $A$， $\mathit{OA}=2\mathit{OB}$．

（1）求抛物线 $C_2$的解析式；

（2）在抛物线 $C_2$的对称轴上是否存在点 $P$，使 $\mathit{PA}+\mathit{PC}$的值最小？若存在，求出点 $P$的坐标，若不存在，说明理由；

（3） $M$是直线 $\mathit{OC}$上方抛物线 $C_2$上的一个动点，连接 $\mathit{MO}$， $\mathit{MC}$， $M$运动到什么位置时， $\mathit{\Delta MOC}$面积最大？并求出最大面积．

我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于 $y$轴对称，则把该函数称之为“ $T$函数”，其图象上关于 $y$轴对称的不同两点叫做一对“ $T$点”．根据该约定，完成下列各题．

（1）若点 $A(1,r)$与点 $B(s,4)$是关于 $x$的“ $T$函数” $y=\left\{\begin{array}{c}-\frac{4}{x}(x<0)\\ t{x}^2\left(x⩾0,t\ne 0,t\mathit{是常数}\right)\end{array}\right.$的图象上的一对“ $T$点”，则 $r=$　　， $s=$　　， $t=$　　（将正确答案填在相应的横线上）；

（2）关于 $x$的函数 $y=\mathit{kx}+p(k$， $p$是常数）是“ $T$函数”吗？如果是，指出它有多少对“ $T$点”如果不是，请说明理由；

（3）若关于 $x$的“ $T$函数” $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a>0$，且 $a$， $b$， $c$是常数）经过坐标原点 $O$，且与直线 $l:y=\mathit{mx}+n(m\ne 0$， $n>0$，且 $m$， $n$是常数）交于 $M(x_1$， $y_1)$， $N(x_2$， $y_2)$两点，当 $x_1$， $x_2$满足 ${(1-x_1)}^{-1}+x_2=1$时，直线 $l$是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理由．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-1$与 $x$轴的交点为 $A(-1,0)$， $B(2,0)$，且与 $y$轴交于 $C$点．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）点 $C$关于 $x$轴的对称点为 $C_1$， $M$是线段 $B{C}_1$上的一个动点（不与 $B$、 $C_1$重合）， $\mathit{ME}\perp x$轴， $\mathit{MF}\perp y$轴，垂足分别为 $E$、 $F$，当点 $M$在什么位置时，矩形 $\mathit{MFOE}$的面积最大？说明理由．

（3）已知点 $P$是直线 $y=\frac{1}{2}x+1$上的动点，点 $Q$为抛物线上的动点，当以 $C$、 $C_1$、 $P$、 $Q$为顶点的四边形为平行四边形时，求出相应的点 $P$和点 $Q$的坐标．

已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+3$经过点 $A(1,0)$和点 $B(-3,0)$，与 $y$轴交于点 $C$，点 $P$为第二象限内抛物线上的动点．

（1）抛物线的解析式为　　，抛物线的顶点坐标为　　；

（2）如图1，连接 $\mathit{OP}$交 $\mathit{BC}$于点 $D$，当 $S_{\mathit{\Delta CPD}}:S_{\mathit{\Delta BPD}}=1:2$时，请求出点 $D$的坐标；

（3）如图2，点 $E$的坐标为 $(0,-1)$，点 $G$为 $x$轴负半轴上的一点， $\angle \mathit{OGE}=15°$，连接 $\mathit{PE}$，若 $\angle \mathit{PEG}=2\angle \mathit{OGE}$，请求出点 $P$的坐标；

（4）如图3，是否存在点 $P$，使四边形 $\mathit{BOCP}$的面积为8？若存在，请求出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，点 $O$为坐标原点，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的顶点是 $A(1,3)$，将 $\mathit{OA}$绕点 $O$顺时针旋转 $90°$后得到 $\mathit{OB}$，点 $B$恰好在抛物线上， $\mathit{OB}$与抛物线的对称轴交于点 $C$．

（1）求抛物线的解析式；

（2） $P$是线段 $\mathit{AC}$上一动点，且不与点 $A$， $C$重合，过点 $P$作平行于 $x$轴的直线，与 $\mathit{\Delta OAB}$的边分别交于 $M$， $N$两点，将 $\mathit{\Delta AMN}$以直线 $\mathit{MN}$为对称轴翻折，得到△ $A\text{'}\mathit{MN}$，设点 $P$的纵坐标为 $m$．

①当△ $A\text{'}\mathit{MN}$在 $\mathit{\Delta OAB}$内部时，求 $m$的取值范围；

②是否存在点 $P$，使 $S_{△A\text{'}\mathit{MN}}=\frac{5}{6}{S}_{△\mathit{OA}\text{'}B}$，若存在，求出满足条件 $m$的值；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y=\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$与直线 $y=\frac{1}{2}x+3$分别相交于 $A$， $B$两点，且此抛物线与 $x$轴的一个交点为 $C$，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$．已知 $A(0,3)$， $C(-3,0)$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线对称轴 $l$上找一点 $M$，使 $|\mathit{MB}-\mathit{MC}|$的值最大，并求出这个最大值；

（3）点 $P$为 $y$轴右侧抛物线上一动点，连接 $\mathit{PA}$，过点 $P$作 $\mathit{PQ}\perp \mathit{PA}$交 $y$轴于点 $Q$，问：是否存在点 $P$使得以 $A$， $P$， $Q$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta ABC}$相似？若存在，请求出所有符合条件的点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于 $A(\sqrt{3}$， $0)$， $B$两点（点 $B$在点 $A$的左侧），与 $y$轴交于点 $C$，且 $\mathit{OB}=3\mathit{OA}=\sqrt{3}\mathit{OC}$， $\angle \mathit{OAC}$的平分线 $\mathit{AD}$交 $y$轴于点 $D$，过点 $A$且垂直于 $\mathit{AD}$的直线 $l$交 $y$轴于点 $E$，点 $P$是 $x$轴下方抛物线上的一个动点，过点 $P$作 $\mathit{PF}\perp x$轴，垂足为 $F$，交直线 $\mathit{AD}$于点 $H$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设点 $P$的横坐标为 $m$，当 $\mathit{FH}=\mathit{HP}$时，求 $m$的值；

（3）当直线 $\mathit{PF}$为抛物线的对称轴时，以点 $H$为圆心， $\frac{1}{2}\mathit{HC}$为半径作 $\odot H$，点 $Q$为 $\odot H$上的一个动点，求 $\frac{1}{4}\mathit{AQ}+\mathit{EQ}$的最小值．