初中数学试题

如图，在射线 $\mathit{BA}$， $\mathit{BC}$， $\mathit{AD}$， $\mathit{CD}$围成的菱形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle \mathit{ABC}=60°$， $\mathit{AB}=6\sqrt{3}$， $O$是射线 $\mathit{BD}$上一点， $\odot O$与 $\mathit{BA}$， $\mathit{BC}$都相切，与 $\mathit{BO}$的延长线交于点 $M$．过 $M$作 $\mathit{EF}\perp \mathit{BD}$交线段 $\mathit{BA}$（或射线 $\mathit{AD})$于点 $E$，交线段 $\mathit{BC}$（或射线 $\mathit{CD})$于点 $F$．以 $\mathit{EF}$为边作矩形 $\mathit{EFGH}$，点 $G$， $H$分别在围成菱形的另外两条射线上．

（1）求证： $\mathit{BO}=2\mathit{OM}$．

（2）设 $\mathit{EF}>\mathit{HE}$，当矩形 $\mathit{EFGH}$的面积为 $24\sqrt{3}$时，求 $\odot O$的半径．

（3）当 $\mathit{HE}$或 $\mathit{HG}$与 $\odot O$相切时，求出所有满足条件的 $\mathit{BO}$的长．

【操作发现】在计算器上输入一个正数，不断地按“ $\sqrt{\left(\right)}$”键求算术平方根，运算结果越来越接近1或都等于1．

【提出问题】输入一个实数，不断地进行“乘常数 $k$，再加上常数 $b$”的运算，有什么规律？

【分析问题】我们可用框图表示这种运算过程（如图 $a)$．

也可用图象描述：如图1，在 $x$轴上表示出 $x_1$，先在直线 $y=\mathit{kx}+b$上确定点 $(x_1$， $y_1)$，再在直线 $y=x$上确定纵坐标为 $y_1$的点 $(x_2$， $y_1)$，然后在 $x$轴上确定对应的数 $x_2$， $\dots$，以此类推．

【解决问题】研究输入实数 $x_1$时，随着运算次数 $n$的不断增加，运算结果 $x_n$，怎样变化．

（1）若 $k=2$， $b=-4$，得到什么结论？可以输入特殊的数如3，4，5进行观察研究；

（2）若 $k>1$，又得到什么结论？请说明理由；

（3）①若 $k=-\frac{2}{3}$， $b=2$，已在 $x$轴上表示出 $x_1$（如图2所示），请在 $x$轴上表示 $x_2$， $x_3$， $x_4$，并写出研究结论；

②若输入实数 $x_1$时，运算结果 $x_n$互不相等，且越来越接近常数 $m$，直接写出 $k$的取值范围及 $m$的值（用含 $k$， $b$的代数式表示）

如图1，在直角坐标系 $\mathit{xoy}$中，直线 $l:y=\mathit{kx}+b$交 $x$轴， $y$轴于点 $E$， $F$，点 $B$的坐标是 $(2,2)$，过点 $B$分别作 $x$轴、 $y$轴的垂线，垂足为 $A$、 $C$，点 $D$是线段 $\mathit{CO}$上的动点，以 $\mathit{BD}$为对称轴，作与 $\mathit{\Delta BCD}$成轴对称的△ $\mathit{BC}\text{'}D$．

（1）当 $\angle \mathit{CBD}=15°$时，求点 $C\text{'}$的坐标．

（2）当图1中的直线 $l$经过点 $A$，且 $k=-\frac{\sqrt{3}}{3}$时（如图 $2)$，求点 $D$由 $C$到 $O$的运动过程中，线段 $\mathit{BC}\text{'}$扫过的图形与 $\mathit{\Delta OAF}$重叠部分的面积．

（3）当图1中的直线 $l$经过点 $D$， $C\text{'}$时（如图 $3)$，以 $\mathit{DE}$为对称轴，作与 $\mathit{\Delta DOE}$成轴对称的△ $\mathit{DO}\text{'}E$，连接 $O\text{'}C$， $O\text{'}O$，问是否存在点 $D$，使得△ $\mathit{DO}\text{'}E$与△ $\mathit{CO}\text{'}O$相似？若存在，求出 $k$、 $b$的值；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中， $O$为坐标原点，点 $A$的坐标为 $(5,0)$，菱形 $\mathit{OABC}$的顶点 $B$， $C$都在第一象限， $\tan \angle \mathit{AOC}=\frac{4}{3}$，将菱形绕点 $A$按顺时针方向旋转角 $\alpha (0°<\angle \alpha <\angle \mathit{AOC})$得到菱形 $\mathit{FADE}$（点 $O$的对应点为点 $F)$， $\mathit{EF}$与 $\mathit{OC}$交于点 $G$，连接 $\mathit{AG}$．

（1）求点 $B$的坐标．

（2）当 $\mathit{OG}=4$时，求 $\mathit{AG}$的长．

（3）求证： $\mathit{GA}$平分 $\angle \mathit{OGE}$．

（4）连接 $\mathit{BD}$并延长交 $x$轴于点 $P$，当点 $P$的坐标为 $(12,0)$时，求点 $G$的坐标．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$中，点 $E$为 $\mathit{BC}$上一点， $F$为 $\mathit{DE}$的中点，且 $\angle \mathit{BFC}=90°$．

（1）当 $E$为 $\mathit{BC}$中点时，求证： $\mathit{\Delta BCF}\cong \mathit{\Delta DEC}$；

（2）当 $\mathit{BE}=2\mathit{EC}$时，求 $\frac{\mathit{CD}}{\mathit{BC}}$的值；

（3）设 $\mathit{CE}=1$， $\mathit{BE}=n$，作点 $C$关于 $\mathit{DE}$的对称点 $C\text{'}$，连接 $\mathit{FC}\text{'}$， $\mathit{AF}$，若点 $C\text{'}$到 $\mathit{AF}$的距离是 $\frac{2\sqrt{10}}{5}$，求 $n$的值．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$中，点 $E$为 $\mathit{BC}$上一点， $F$为 $\mathit{DE}$的中点，且 $\angle \mathit{BFC}=90°$．

（1）当 $E$为 $\mathit{BC}$中点时，求证： $\mathit{\Delta BCF}\cong \mathit{\Delta DEC}$；

（2）当 $\mathit{BE}=2\mathit{EC}$时，求 $\frac{\mathit{CD}}{\mathit{BC}}$的值；

（3）设 $\mathit{CE}=1$， $\mathit{BE}=n$，作点 $C$关于 $\mathit{DE}$的对称点 $C\text{'}$，连接 $\mathit{FC}\text{'}$， $\mathit{AF}$，若点 $C\text{'}$到 $\mathit{AF}$的距离是 $\frac{2\sqrt{10}}{5}$，求 $n$的值．

在平面直角坐标系中，点 $O$为原点，点 $A$的坐标为 $(-6,0)$．如图1，正方形 $\mathit{OBCD}$的顶点 $B$在 $x$轴的负半轴上，点 $C$在第二象限．现将正方形 $\mathit{OBCD}$绕点 $O$顺时针旋转角 $\alpha$得到正方形 $\mathit{OEFG}$．

（1）如图2，若 $\alpha =60°$， $\mathit{OE}=\mathit{OA}$，求直线 $\mathit{EF}$的函数表达式．

（2）若 $\alpha$为锐角， $\tan \alpha =\frac{1}{2}$，当 $\mathit{AE}$取得最小值时，求正方形 $\mathit{OEFG}$的面积．

（3）当正方形 $\mathit{OEFG}$的顶点 $F$落在 $y$轴上时，直线 $\mathit{AE}$与直线 $\mathit{FG}$相交于点 $P$， $\mathit{\Delta OEP}$的其中两边之比能否为 $\sqrt{2}:1$？若能，求点 $P$的坐标；若不能，试说明理由

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中，点 $O$为坐标原点，点 $B$的坐标为 $(4,3)$，点 $A$、 $C$在坐标轴上，点 $P$在 $\mathit{BC}$边上，直线 $l_1:y=2x+3$，直线 $l_2:y=2x-3$．

（1）分别求直线 $l_1$与 $x$轴，直线 $l_2$与 $\mathit{AB}$的交点坐标；

（2）已知点 $M$在第一象限，且是直线 $l_2$上的点，若 $\mathit{\Delta APM}$是等腰直角三角形，求点 $M$的坐标；

（3）我们把直线 $l_1$和直线 $l_2$上的点所组成的图形为图形 $F$．已知矩形 $\mathit{ANPQ}$的顶点 $N$在图形 $F$上， $Q$是坐标平面内的点，且 $N$点的横坐标为 $x$，请直接写出 $x$的取值范围（不用说明理由）．

小明的爸爸和妈妈分别驾车从家同时出发去上班，爸爸行驶到甲处时，看到前面路口时红灯，他立即刹车减速并在乙处停车等待，爸爸驾车从家到乙处的过程中，速度 $v(m/s)$与时间 $t\left(s\right)$的关系如图1中的实线所示，行驶路程 $s\left(m\right)$与时间 $t\left(s\right)$的关系如图2所示，在加速过程中， $s$与 $t$满足表达式 $s=a{t}^2$

（1）根据图中的信息，写出小明家到乙处的路程，并求 $a$的值；

（2）求图2中 $A$点的纵坐标 $h$，并说明它的实际意义；

（3）爸爸在乙处等待7秒后绿灯亮起继续前行，为了节约能源，减少刹车，妈妈驾车从家出发的行驶过程中，速度 $v(m/s)$与时间 $t\left(s\right)$的关系如图1中的折线 $O-B-C$所示，加速过程中行驶路程 $s\left(m\right)$与时间 $t\left(s\right)$的关系也满足 $s=a{t}^2$，当她行驶到甲处时，前方的绿灯刚好亮起，求此时妈妈驾车的行驶速度．

数学活动课上，某学习小组对有一内角为 $120°$的平行四边形 $\mathit{ABCD}(\angle \mathit{BAD}=120°)$进行探究：将一块含 $60°$的直角三角板如图放置在平行四边形 $\mathit{ABCD}$所在平面内旋转，且 $60°$角的顶点始终与点 $C$重合，较短的直角边和斜边所在的两直线分别交线段 $\mathit{AB}$， $\mathit{AD}$于点 $E$， $F$（不包括线段的端点）．

（1）初步尝试

如图1，若 $\mathit{AD}=\mathit{AB}$，求证：① $\mathit{\Delta BCE}\cong \mathit{\Delta ACF}$，② $\mathit{AE}+\mathit{AF}=\mathit{AC}$；

（2）类比发现

如图2，若 $\mathit{AD}=2\mathit{AB}$，过点 $C$作 $\mathit{CH}\perp \mathit{AD}$于点 $H$，求证： $\mathit{AE}=2\mathit{FH}$；

（3）深入探究

如图3，若 $\mathit{AD}=3\mathit{AB}$，探究得： $\frac{\mathit{AE}+3\mathit{AF}}{\mathit{AC}}$的值为常数 $t$，则 $t=$　　．

在线段 $\mathit{AB}$的同侧作射线 $\mathit{AM}$和 $\mathit{BN}$，若 $\angle \mathit{MAB}$与 $\angle \mathit{NBA}$的平分线分别交射线 $\mathit{BN}$， $\mathit{AM}$于点 $E$， $F$， $\mathit{AE}$和 $\mathit{BF}$交于点 $P$．如图，点点同学发现当射线 $\mathit{AM}$， $\mathit{BN}$交于点 $C$；且 $\angle \mathit{ACB}=60°$时，有以下两个结论：

① $\angle \mathit{APB}=120°$；② $\mathit{AF}+\mathit{BE}=\mathit{AB}$．

那么，当 $\mathit{AM}//\mathit{BN}$时：

（1）点点发现的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请求出 $\angle \mathit{APB}$的度数，写出 $\mathit{AF}$， $\mathit{BE}$， $\mathit{AB}$长度之间的等量关系，并给予证明；

（2）设点 $Q$为线段 $\mathit{AE}$上一点， $\mathit{QB}=5$，若 $\mathit{AF}+\mathit{BE}=16$，四边形 $\mathit{ABEF}$的面积为 $32\sqrt{3}$，求 $\mathit{AQ}$的长．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-3$过 $A(1,0)$、 $B(-3,0)$，直线 $\mathit{AD}$交抛物线于点 $D$，点 $D$的横坐标为 $-2$，点 $P(m,n)$是线段 $\mathit{AD}$上的动点，过点 $P$的直线垂直于 $x$轴，交抛物线于点 $Q$．

（1）求直线 $\mathit{AD}$及抛物线的解析式；

（2）求线段 $\mathit{PQ}$的长度 $l$与 $m$的关系式， $m$为何值时， $\mathit{PQ}$最长？

（3）在平面内是否存在整点（横、纵坐标都为整数） $R$，使得 $P$、 $Q$、 $D$、 $R$为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点 $R$的坐标；若不存在，说明理由．

已知：如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$与坐标轴分别交于点 $A(0,6)$， $B(6,0)$， $C(-2,0)$，点 $P$是线段 $\mathit{AB}$上方抛物线上的一个动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点 $P$运动到什么位置时， $\mathit{\Delta PAB}$的面积有最大值？

（3）过点 $P$作 $x$轴的垂线，交线段 $\mathit{AB}$于点 $D$，再过点 $P$做 $\mathit{PE}//x$轴交抛物线于点 $E$，连接 $\mathit{DE}$，请问是否存在点 $P$使 $\mathit{\Delta PDE}$为等腰直角三角形？若存在，求出点 $P$的坐标；若不存在，说明理由．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，已知抛物线的顶点坐标为 $(2,0)$，且经过点 $(4,1)$，如图，直线 $y=\frac{1}{4}x$与抛物线交于 $A$、 $B$两点，直线 $l$为 $y=-1$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在 $l$上是否存在一点 $P$，使 $\mathit{PA}+B$取得最小值？若存在，求出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）知 $F(x_0$， $y_0)$为平面内一定点， $M(m,n)$为抛物线上一动点，且点 $M$到直线 $l$的距离与点 $M$到点 $F$的距离总是相等，求定点 $F$的坐标．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\frac{3}{2}x+4$的对称轴是直线 $x=3$，且与 $x$轴相交于 $A$， $B$两点 $(B$点在 $A$点右侧）与 $y$轴交于 $C$点．

（1）求抛物线的解析式和 $A$、 $B$两点的坐标；

（2）若点 $P$是抛物线上 $B$、 $C$两点之间的一个动点（不与 $B$、 $C$重合），则是否存在一点 $P$，使 $\mathit{\Delta PBC}$的面积最大．若存在，请求出 $\mathit{\Delta PBC}$的最大面积；若不存在，试说明理由；

（3）若 $M$是抛物线上任意一点，过点 $M$作 $y$轴的平行线，交直线 $\mathit{BC}$于点 $N$，当 $\mathit{MN}=3$时，求 $M$点的坐标．