初中数学试题

已知， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle B=\angle C$， $P$是 $\mathit{BC}$边上一点，作 $\angle \mathit{CPE}=\angle \mathit{BPF}$，分别交边 $\mathit{AC}$， $\mathit{AB}$于点 $E$， $F$．

（1）若 $\angle \mathit{CPE}=\angle C$（如图 $1)$，求证： $\mathit{PE}+\mathit{PF}=\mathit{AB}$．

（2）若 $\angle \mathit{CPE}\ne \angle C$，过点 $B$作 $\angle \mathit{CBD}=\angle \mathit{CPE}$，交 $\mathit{CA}$（或 $\mathit{CA}$的延长线）于点 $D$．试猜想：线段 $\mathit{PE}$， $\mathit{PF}$和 $\mathit{BD}$之间的数量关系，并就 $\angle \mathit{CPE}>\angle C$情形（如图 $2)$说明理由．

（3）若点 $F$与 $A$重合（如图 $3)$， $\angle C=27°$，且 $\mathit{PA}=\mathit{AE}$．

①求 $\angle \mathit{CPE}$的度数；

②设 $\mathit{PB}=a$， $\mathit{PA}=b$， $\mathit{AB}=c$，试证明： $b=\frac{a^2-c^2}{c}$．

我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”．

（1）概念理解：

如图1，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AC}=6$， $\mathit{BC}=3$， $\angle \mathit{ACB}=30°$，试判断 $\mathit{\Delta ABC}$是否是”等高底”三角形，请说明理由．

（2）问题探究：

如图2， $\mathit{\Delta ABC}$是“等高底”三角形， $\mathit{BC}$是”等底”，作 $\mathit{\Delta ABC}$关于 $\mathit{BC}$所在直线的对称图形得到△ $A^{\text{'}}\mathit{BC}$，连接 $\mathit{AA}\text{'}$交直线 $\mathit{BC}$于点 $D$．若点 $B$是△ $\mathit{AA}\text{'}C$的重心，求 $\frac{\mathit{AC}}{\mathit{BC}}$的值．

（3）应用拓展：

如图3，已知 $l_1//l_2$， $l_1$与 $l_2$之间的距离为2．“等高底” $\mathit{\Delta ABC}$的“等底” $\mathit{BC}$在直线 $l_1$上，点 $A$在直线 $l_2$上，有一边的长是 $\mathit{BC}$的 $\sqrt{2}$倍．将 $\mathit{\Delta ABC}$绕点 $C$按顺时针方向旋转 $45°$得到△ $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}C$， $A\text{'}C$所在直线交 $l_2$于点 $D$．求 $\mathit{CD}$的值．

如图1，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，已知 $\mathit{\Delta ABC}$， $\angle \mathit{ABC}=90°$，顶点 $A$在第一象限， $B$， $C$在 $x$轴的正半轴上 $(C$在 $B$的右侧）， $\mathit{BC}=2$， $\mathit{AB}=2\sqrt{3}$， $\mathit{\Delta ADC}$与 $\mathit{\Delta ABC}$关于 $\mathit{AC}$所在的直线对称．

（1）当 $\mathit{OB}=2$时，求点 $D$的坐标；

（2）若点 $A$和点 $D$在同一个反比例函数的图象上，求 $\mathit{OB}$的长；

（3）如图2，将（2）中的四边形 $\mathit{ABCD}$向右平移，记平移后的四边形为 $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$，过点 $D_1$的反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k\ne 0)$的图象与 $\mathit{BA}$的延长线交于点 $P$．问：在平移过程中，是否存在这样的 $k$，使得以点 $P$， $A_1$， $D$为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的 $k$的值；若不存在，请说明理由．

如图，在正方形 $\mathit{ABCD}$中，点 $G$在边 $\mathit{BC}$上（不与点 $B$， $C$重合），连接 $\mathit{AG}$，作 $\mathit{DE}\perp \mathit{AG}$于点 $E$， $\mathit{BF}\perp \mathit{AG}$于点 $F$，设 $\frac{\mathit{BG}}{\mathit{BC}}=k$．

（1）求证： $\mathit{AE}=\mathit{BF}$．

（2）连接 $\mathit{BE}$， $\mathit{DF}$，设 $\angle \mathit{EDF}=\alpha$， $\angle \mathit{EBF}=\beta$．求证： $\tan \alpha =k\tan \beta$．

（3）设线段 $\mathit{AG}$与对角线 $\mathit{BD}$交于点 $H$， $\mathit{\Delta AHD}$和四边形 $\mathit{CDHG}$的面积分别为 $S_1$和 $S_2$，求 $\frac{S_2}{S_1}$的最大值．

如图， $\mathit{\Delta OAB}$是边长为 $2+\sqrt{3}$的等边三角形，其中 $O$是坐标原点，顶点 $B$在 $y$轴正方向上，将 $\mathit{\Delta OAB}$折叠，使点 $A$落在边 $\mathit{OB}$上，记为 $A\text{'}$，折痕为 $\mathit{EF}$．

（1）当 $A\text{'}E//x$轴时，求点 $A\text{'}$和 $E$的坐标；

（2）当 $A\text{'}E//x$轴，且抛物线 $y=-\frac{1}{6}{x}^2+\mathit{bx}+c$经过点 $A\text{'}$和 $E$时，求抛物线与 $x$轴的交点的坐标；

（3）当点 $A\text{'}$在 $\mathit{OB}$上运动，但不与点 $O$、 $B$重合时，能否使△ $A\text{'}\mathit{EF}$成为直角三角形？若能，请求出此时点 $A\text{'}$的坐标；若不能，请你说明理由．

如图，已知线段 $\mathit{AB}=2$， $\mathit{MN}\perp \mathit{AB}$于点 $M$，且 $\mathit{AM}=\mathit{BM}$， $P$是射线 $\mathit{MN}$上一动点， $E$， $D$分别是 $\mathit{PA}$， $\mathit{PB}$的中点，过点 $A$， $M$， $D$的圆与 $\mathit{BP}$的另一交点 $C$（点 $C$在线段 $\mathit{BD}$上），连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{DE}$．

（1）当 $\angle \mathit{APB}=28°$时，求 $\angle B$和 $\widehat{\mathit{CM}}$的度数；

（2）求证： $\mathit{AC}=\mathit{AB}$．

（3）在点 $P$的运动过程中

①当 $\mathit{MP}=4$时，取四边形 $\mathit{ACDE}$一边的两端点和线段 $\mathit{MP}$上一点 $Q$，若以这三点为顶点的三角形是直角三角形，且 $Q$为锐角顶点，求所有满足条件的 $\mathit{MQ}$的值；

②记 $\mathit{AP}$与圆的另一个交点为 $F$，将点 $F$绕点 $D$旋转 $90°$得到点 $G$，当点 $G$恰好落在 $\mathit{MN}$上时，连接 $\mathit{AG}$， $\mathit{CG}$， $\mathit{DG}$， $\mathit{EG}$，直接写出 $\mathit{\Delta ACG}$和 $\mathit{\Delta DEG}$的面积之比．

在平面直角坐标系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根．比如对于方程 $x^2-5x+2=0$，操作步骤是：

第一步：根据方程的系数特征，确定一对固定点 $A(0,1)$， $B(5,2)$；

第二步：在坐标平面中移动一个直角三角板，使一条直角边恒过点 $A$，另一条直角边恒过点 $B$；

第三步：在移动过程中，当三角板的直角顶点落在 $x$轴上点 $C$处时，点 $C$的横坐标 $m$即为该方程的一个实数根（如图 $1)$；

第四步：调整三角板直角顶点的位置，当它落在 $x$轴上另一点 $D$处时，点 $D$的横坐标 $n$即为该方程的另一个实数根．

（1）在图2中，按照“第四步”的操作方法作出点 $D$（请保留作出点 $D$时直角三角板两条直角边的痕迹）；

（2）结合图1，请证明“第三步”操作得到的 $m$就是方程 $x^2-5x+2=0$的一个实数根；

（3）上述操作的关键是确定两个固定点的位置．若要以此方法找到一元二次方程 $a{x}^2+\mathit{bx}+c=0(a\ne 0,b^2-4\mathit{ac}⩾0)$的实数根，请你直接写出一对固定点的坐标；

（4）实际上，（3）中的固定点有无数对，一般地，当 $m_1$， $n_1$， $m_2$， $n_2$与 $a$， $b$， $c$之间满足怎样的关系时，点 $P(m_1$， $n_1)$， $Q(m_2$， $n_2)$就是符合要求的一对固定点？

在直角坐标系中，过原点 $O$及点 $A(8,0)$， $C(0,6)$作矩形 $\mathit{OABC}$、连接 $\mathit{OB}$，点 $D$为 $\mathit{OB}$的中点，点 $E$是线段 $\mathit{AB}$上的动点，连接 $\mathit{DE}$，作 $\mathit{DF}\perp \mathit{DE}$，交 $\mathit{OA}$于点 $F$，连接 $\mathit{EF}$．已知点 $E$从 $A$点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段 $\mathit{AB}$上移动，设移动时间为 $t$秒．

（1）如图1，当 $t=3$时，求 $\mathit{DF}$的长．

（2）如图2，当点 $E$在线段 $\mathit{AB}$上移动的过程中， $\angle \mathit{DEF}$的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出 $\tan \angle \mathit{DEF}$的值．

（3）连接 $\mathit{AD}$，当 $\mathit{AD}$将 $\mathit{\Delta DEF}$分成的两部分的面积之比为 $1:2$时，求相应的 $t$的值．

有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形．

（1）如图1，在半对角四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle B=\frac{1}{2}\angle D$， $\angle C=\frac{1}{2}\angle A$，求 $\angle B$与 $\angle C$的度数之和；

（2）如图2，锐角 $\mathit{\Delta ABC}$内接于 $\odot O$，若边 $\mathit{AB}$上存在一点 $D$，使得 $\mathit{BD}=\mathit{BO}$， $\angle \mathit{OBA}$的平分线交 $\mathit{OA}$于点 $E$，连接 $\mathit{DE}$并延长交 $\mathit{AC}$于点 $F$， $\angle \mathit{AFE}=2\angle \mathit{EAF}$．求证：四边形 $\mathit{DBCF}$是半对角四边形；

（3）如图3，在（2）的条件下，过点 $D$作 $\mathit{DG}\perp \mathit{OB}$于点 $H$，交 $\mathit{BC}$于点 $G$，当 $\mathit{DH}=\mathit{BG}$时，求 $\mathit{\Delta BGH}$与 $\mathit{\Delta ABC}$的面积之比．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中，点 $E$是 $\mathit{AD}$上的一个动点，连接 $\mathit{BE}$，作点 $A$关于 $\mathit{BE}$的对称点 $F$，且点 $F$落在矩形 $\mathit{ABCD}$的内部，连接 $\mathit{AF}$， $\mathit{BF}$， $\mathit{EF}$，过点 $F$作 $\mathit{GF}\perp \mathit{AF}$交 $\mathit{AD}$于点 $G$，设 $\frac{\mathit{AD}}{\mathit{AE}}=n$．

（1）求证： $\mathit{AE}=\mathit{GE}$；

（2）当点 $F$落在 $\mathit{AC}$上时，用含 $n$的代数式表示 $\frac{\mathit{AD}}{\mathit{AB}}$的值；

（3）若 $\mathit{AD}=4\mathit{AB}$，且以点 $F$， $C$， $G$为顶点的三角形是直角三角形，求 $n$的值．

如图1，在平面直角坐标系中，四边形 $\mathit{OABC}$各顶点的坐标分别为 $O(0,0)$， $A(3$， $3\sqrt{3})$、 $B(9$， $5\sqrt{3})$， $C(14,0)$，动点 $P$与 $Q$同时从 $O$点出发，运动时间为 $t$秒，点 $P$沿 $\mathit{OC}$方向以1单位长度 $/$秒的速度向点 $C$运动，点 $Q$沿折线 $\mathit{OA}-\mathit{AB}-\mathit{BC}$运动，在 $\mathit{OA}$、 $\mathit{AB}$、 $\mathit{BC}$上运动的速度分别为3， $\sqrt{3}$， $\frac{5}{2}$（单位长度 $/$秒），当 $P$、 $Q$中的一点到达 $C$点时，两点同时停止运动．

（1）求 $\mathit{AB}$所在直线的函数表达式；

（2）如图2，当点 $Q$在 $\mathit{AB}$上运动时，求 $\mathit{\Delta CPQ}$的面积 $S$关于 $t$的函数表达式及 $S$的最大值；

（3）在 $P$、 $Q$的运动过程中，若线段 $\mathit{PQ}$的垂直平分线经过四边形 $\mathit{OABC}$的顶点，求相应的 $t$值．

如图1，已知 $▱\mathit{ABCD}$， $\mathit{AB}//x$轴， $\mathit{AB}=6$，点 $A$的坐标为 $(1,-4)$，点 $D$的坐标为 $(-3,4)$，点 $B$在第四象限，点 $P$是 $▱\mathit{ABCD}$边上的一个动点．

（1）若点 $P$在边 $\mathit{BC}$上， $\mathit{PD}=\mathit{CD}$，求点 $P$的坐标．

（2）若点 $P$在边 $\mathit{AB}$， $\mathit{AD}$上，点 $P$关于坐标轴对称的点 $Q$落在直线 $y=x-1$上，求点 $P$的坐标．

（3）若点 $P$在边 $\mathit{AB}$， $\mathit{AD}$， $\mathit{CD}$上，点 $G$是 $\mathit{AD}$与 $y$轴的交点，如图2，过点 $P$作 $y$轴的平行线 $\mathit{PM}$，过点 $G$作 $x$轴的平行线 $\mathit{GM}$，它们相交于点 $M$，将 $\mathit{\Delta PGM}$沿直线 $\mathit{PG}$翻折，当点 $M$的对应点落在坐标轴上时，求点 $P$的坐标．（直接写出答案）

如图，某日的钱塘江观潮信息如图：

按上述信息，小红将“交叉潮”形成后潮头与乙地之间的距离 $s$（千米）与时间 $t$（分钟）的函数关系用图3表示，其中：“ $11:40$时甲地‘交叉潮’的潮头离乙地12千米”记为点 $A(0,12)$，点 $B$坐标为 $(m,0)$，曲线 $\mathit{BC}$可用二次函数 $s=\frac{1}{125}{t}^2+\mathit{bt}+c(b$， $c$是常数）刻画．

（1）求 $m$的值，并求出潮头从甲地到乙地的速度；

（2） $11:59$时，小红骑单车从乙地出发，沿江边公路以0.48千米 $/$分的速度往甲地方向去看潮，问她几分钟后与潮头相遇？

（3）相遇后，小红立即调转车头，沿江边公路按潮头速度与潮头并行，但潮头过乙地后均匀加速，而单车最高速度为0.48千米 $/$分，小红逐渐落后．问小红与潮头相遇到落后潮头1.8千米共需多长时间？（潮水加速阶段速度 $v=v_0+\frac{2}{125}(t-30)$， $v_0$是加速前的速度）．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，已知 $A$， $B$两点的坐标分别为 $(-4,0)$， $(4,0)$， $C(m,0)$是线段 $\mathit{AB}$上一点（与 $A$， $B$点不重合），抛物线 $L_1:y=a{x}^2+b_{1}x+c_1(a<0)$经过点 $A$， $C$，顶点为 $D$，抛物线 $L_2:y=a{x}^2+b_{2}x+c_2(a<0)$经过点 $C$， $B$，顶点为 $E$， $\mathit{AD}$， $\mathit{BE}$的延长线相交于点 $F$．

（1）若 $a=-\frac{1}{2}$， $m=-1$，求抛物线 $L_1$， $L_2$的解析式；

（2）若 $a=-1$， $\mathit{AF}\perp \mathit{BF}$，求 $m$的值；

（3）是否存在这样的实数 $a(a<0)$，无论 $m$取何值，直线 $\mathit{AF}$与 $\mathit{BF}$都不可能互相垂直？若存在，请直接写出 $a$的两个不同的值；若不存在，请说明理由．

如图，已知 $\mathit{\Delta ABC}$内接于 $\odot O$，点 $C$在劣弧 $\mathit{AB}$上（不与点 $A$， $B$重合），点 $D$为弦 $\mathit{BC}$的中点， $\mathit{DE}\perp \mathit{BC}$， $\mathit{DE}$与 $\mathit{AC}$的延长线交于点 $E$，射线 $\mathit{AO}$与射线 $\mathit{EB}$交于点 $F$，与 $\odot O$交于点 $G$，设 $\angle \mathit{GAB}=\alpha$， $\angle \mathit{ACB}=\beta$， $\angle \mathit{EAG}+\angle \mathit{EBA}=\gamma$，

（1）点点同学通过画图和测量得到以下近似数据：

$\alpha$	$30°$	$40°$	$50°$	$60°$
$\beta$	$120°$	$130°$	$140°$	$150°$
$\gamma$	$150°$	$140°$	$130°$	$120°$

猜想： $\beta$关于 $\alpha$的函数表达式， $\gamma$关于 $\alpha$的函数表达式，并给出证明；

（2）若 $\gamma =135°$， $\mathit{CD}=3$， $\mathit{\Delta ABE}$的面积为 $\mathit{\Delta ABC}$的面积的4倍，求 $\odot O$半径的长．