如图1，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，已知 $\mathit{\Delta ABC}$， $\angle \mathit{ABC}=90°$，顶点 $A$在第一象限， $B$， $C$在 $x$轴的正半轴上 $(C$在 $B$的右侧）， $\mathit{BC}=2$， $\mathit{AB}=2\sqrt{3}$， $\mathit{\Delta ADC}$与 $\mathit{\Delta ABC}$关于 $\mathit{AC}$所在的直线对称．

（1）当 $\mathit{OB}=2$时，求点 $D$的坐标；

（2）若点 $A$和点 $D$在同一个反比例函数的图象上，求 $\mathit{OB}$的长；

（3）如图2，将（2）中的四边形 $\mathit{ABCD}$向右平移，记平移后的四边形为 $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$，过点 $D_1$的反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k\ne 0)$的图象与 $\mathit{BA}$的延长线交于点 $P$．问：在平移过程中，是否存在这样的 $k$，使得以点 $P$， $A_1$， $D$为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的 $k$的值；若不存在，请说明理由．