高中数学解答题

如图，长方体 ABCD- A ₁ B ₁ C ₁ D ₁的底面 ABCD是正方形，点 E在棱 AA ₁上， BE⊥ EC ₁.

（1）证明： BE⊥平面 EB ₁ C ₁；

（2）若 AE= A ₁ E， AB=3，求四棱锥 $E-B{B}_1{C}_{1}C$ 的体积．

设 $x,y,z\in R$ ，且 $x+y+z=1$ .

（1）求 $(x-1{)}^2+(y+1{)}^2+(z+1{)}^2$ 的最小值；

（2）若 $(x-2{)}^2+(y-1{)}^2+(z-a{)}^2\ge \frac{1}{3}$ 成立，证明： $a\le -3$ 或 $a\ge -1$ .

如图，在极坐标系 $\mathit{Ox}$ 中， $A(2,0)$ ， $B(\sqrt{2},\frac{\pi }{4})$ ， $C(\sqrt{2},\frac{3\pi }{4})$ ， $D(2,\pi )$ ，弧 $\stackrel{⏜}{\mathit{AB}}$ ， $\stackrel{⏜}{\mathit{BC}}$ ， $\stackrel{⏜}{\mathit{CD}}$ 所在圆的圆心分别是 $(1,0)$ ， $(1,\frac{\pi }{2})$ ， $(1,\pi )$ ，曲线 $M_1$ 是弧 $\stackrel{⏜}{\mathit{AB}}$ ，曲线 $M_2$ 是弧 $\stackrel{⏜}{\mathit{BC}}$ ，曲线 $M_3$ 是弧 $\stackrel{⏜}{\mathit{CD}}$ .

（1）分别写出 $M_1$ ， $M_2$ ， $M_3$ 的极坐标方程；

（2）曲线 $M$ 由 $M_1$ ， $M_2$ ， $M_3$ 构成，若点 $P$ 在 $M$ 上，且 $\left|\mathit{OP}\right|=\sqrt{3}$ ，求 $P$ 的极坐标.

已知曲线C：y= $\frac{x^2}{2}$，D为直线y= $-\frac{1}{2}$上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.

（1）证明：直线AB过定点：

（2）若以E(0， $\frac{5}{2}$)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.

已知函数 $f\left(x\right)=2x^3-a{x}^2+2$.

（1）讨论 $f\left(x\right)$的单调性；

（2）当 $0<a<3$时，记 $f\left(x\right)$在区间 $\left[0,1\right]$的最大值为 $M$，最小值为 $m$，求的取值范围.

图1是由矩形 $\mathit{ADEB},\mathit{Rt\Delta ABC}$ 和菱形 $\mathit{BFGC}$ 组成的一个平面图形，其中 $\mathit{AB}=1,\mathit{BE}=\mathit{BF}=2$ ， $\angle \mathit{FBC}=60^{\circ }$ ，将其沿 $\mathit{AB},\mathit{BC}$ 折起使得 $\mathit{BE}$ 与 $\mathit{BF}$ 重合，连结 $\mathit{DG}$ ，如图2.

（1）证明图2中的 $A,C,G,D$ 四点共面，且平面 $\mathit{ABC}\perp$ 平面 $\mathit{BCGE}$ ；

（2）求图2中的四边形 $\mathit{ACGD}$ 的面积.

$\mathit{\Delta ABC}$的内角的对边分别为 $a,b,c$，已知 $a\mathit{sin}\frac{A+C}{2}=b\mathit{sin}A$．

（1）求 $B$；

（2）若 $\mathit{\Delta ABC}$为锐角三角形，且 $c=1$，求 $\mathit{\Delta ABC}$面积的取值范围．

为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成 $A,B$ 两组，每组100只，其中 $A$ 组小鼠给服甲离子溶液， $B$ 组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：

记 $C$ 为事件："乙离子残留在体内的百分比不低于 $5.5$ "，根据直方图得到 $P\left(C\right)$ 的估计值为 $0.70$ .

（1）求乙离子残留百分比直方图中 $a,b$ 的值；

（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.

已知数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足 $:x_1=1,x_n=x_{n+1}+\ln \left(1+x_{n+1}\right)\left(n\in {\mathbf{N}}^{*}\right)$.

证明: 当 $n\in {\mathbf{N}}^{*}$ 时,

( I ) $0<x_{n+1}<x_n$;

( II ) $2x_{n+1}-x_n⩽\frac{x_n{x}_{n+1}}{2}$;

( III ) $\frac{1}{2^{n-1}}⩽x_n⩽\frac{1}{2^{n-2}}$.

如图,已知抛物线 $x^2=y$ , 点 $A\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{4}\right),B\left(\frac{3}{2},\frac{9}{4}\right)$ , 抛物线上的点 $P(x,y)$

$\left(-\frac{1}{2}<x<\frac{3}{2}\right).$ 过点 $B$ 作直线 $\mathit{AP}$ 的垂线，垂足为 $Q$ .

( I ) 求直线 $\mathit{AP}$ 斜率的取值范围；

( II ) 求 $\left|\mathit{PA}\right|\cdot \left|\mathit{PQ}\right|$ 的最大值。

已知函数 $f\left(x\right)=(x-\sqrt{2x-1}){\mathrm{e}}^{-x}\left(x⩾\frac{1}{2}\right)$.

( I ) 求 $f\left(x\right)$ 的导函数;

( II ) 求 $f\left(x\right)$ 在区间 $\left[\frac{1}{2},+\mathrm{\infty }\right)$ 上的取值范围.

如图,已知四棱锥 $P-\mathit{ABCD},△\mathit{PAD}$ 是以 $\mathit{AD}$ 为斜边的等腰直角三角形, $\mathit{BC}//\mathit{AD}$ , $\mathit{CD}\perp \mathit{AD},\mathit{PC}=\mathit{AD}=2DC=2\mathit{CB},E$ 为 $\mathit{PD}$ 的中点.

（I ) 证明: $\mathit{CE}//$ 平面 $\mathit{PAB}$ ;

( II )求直线 $\mathit{CE}$ 与平面 $\mathit{PBC}$ 所成角的正弦值.

已知函数 $f\left(x\right)={\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x-2\sqrt{3}\sin x\cos x(x\in \mathbf{R})$.

( I ) 求 $f\left(\frac{2\pi }{3}\right)$ 的值;

( II )求 $f\left(x\right)$ 的最小正周期及单调递增区间；

$\text{设数列 }\mathrm{A}:a_1,a_2,\dots a_N(N\ge )\text{.如果对小于 }n(2\le n\le N)$ ， $\text{的每个正整数}k\text{都有}{a}_k<a_n$ 则称 $n$ 是数列 $\mathrm{A}$ 的一个 " $\mathrm{G}$ 时刻" $，$ 记 $G\left(A\right)$ 是数列 $\mathrm{A}$ 的所有 " $\mathrm{G}$ 时刻" 组成的集合.

（1）对数列 A: $-2,2,-1,1,3$ , 写出 $G\left(A\right)$ 的所有元素;

（2）证明：若数列 $\mathrm{A}$ 中存在 $a_n$ 使得 $a_n>a_1$ , 则 $G\left(A\right)\ne \varnothing$ ;

（3）证明：若数列 $\mathrm{A}$ 满足 $a_n-a_{n-1}\le (n=2,3,\dots ，N)$ 则G（A）的元素个数小于 $a_N-a_1$ ；

已知椭圆 $\mathrm{C}:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\mathrm{}(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2},A(a,0),B(0,b),O(0,0),\mathrm{\Delta }\mathit{OAB}$ 的面积为 1 .

(1) 求椭圆 C 的方程;

(2) 设 $P$ 的椭圆 $C$ 上一点, 直线 $\mathit{PA}$ 与 $y$ 轴交于点 $\mathrm{M}$ , 直线 $\mathrm{PB}$ 与 $x$ 轴交于点 $\mathrm{N}$ .

求证: $\left|\mathit{AN}\right|\cdot \left|\mathit{BM}\right|$ 为定值.