图1是由矩形 ADEB , RtΔABC 和菱形 BFGC 组成的一个平面图形,其中 AB = 1 , BE = BF = 2 , ∠ FBC = 6 0 ∘ ,将其沿 AB , BC 折起使得 BE 与 BF 重合,连结 DG ,如图2.
(1)证明图2中的 A , C , G , D 四点共面,且平面 ABC ⊥ 平面 BCGE ;
(2)求图2中的四边形 ACGD 的面积.
平面上点 A ( 2 , - 1 ) 在矩阵 M = a 1 - 1 b 对应的变换作用下得到点 B ( 3 , - 4 ) .
(1)求实数 a , b 的值;
(2)求矩阵 M 的逆矩阵 M - 1 .
已知数列 a n ( n ∈ N * ) 的首项a1=1,前n项和为Sn.设λ与k是常数,若对一切正整数n,均有 S n + 1 1 k - S n 1 k = λ a n + 1 1 k 成立,则称此数列为“λ–k”数列.
(1)若等差数列 a n 是“λ–1”数列,求λ的值;
(2)若数列 a n 是“ 3 3 - 2 ”数列,且an>0,求数列 a n 的通项公式;
(3)对于给定的λ,是否存在三个不同的数列 a n 为“λ–3”数列,且an≥0?若存在,求λ的取值范围;若不存在,说明理由,
已知关于x的函数 y = f ( x ) , y = g ( x ) 与 h ( x ) = kx + b ( k , b ∈ R ) 在区间D上恒有 f ( x ) ≥ h ( x ) ≥ g ( x ) .
(1)若 f x = x 2 + 2 x , g x = - x 2 + 2 x , D = ( - ∞ , + ∞ ) ,求h(x)的表达式;
(2)若 f ( x ) = x 2 - x + 1 , g ( x ) = k ln x , h ( x ) = kx - k , D = ( 0 , + ∞ ) ,求k的取值范围;
(3)若 f ( x ) = x 4 - 2 x 2 , g ( x ) = 4 x 2 - 8 , h ( x ) = 4 t 2 - t x - 3 t 4 + 2 t 2 ( 0 < t ≤ 2 ) , D = m , n ⊆ - 2 , 2 , 求证: n - m ≤ 7 .
在平面直角坐标系 xOy中,已知椭圆 E : x 2 4 + y 2 3 = 1 的左、右焦点分别为 F 1, F 2,点 A在椭圆 E上且在第一象限内, AF 2⊥ F 1 F 2,直线 AF 1与椭圆 E相交于另一点 B.
(1)求△ AF 1 F 2的周长;
(2)在 x轴上任取一点 P,直线 AP与椭圆 E的右准线相交于点 Q,求 OP ⃗ ⋅ QP ⃗ 的最小值;
(3)设点 M在椭圆 E上,记△ OAB与△ MAB的面积分别为 S 1, S 2,若 S 2=3 S 1,求点 M的坐标.
某地准备在山谷中建一座桥梁,桥址位置的竖直截面图如图所示:谷底 O在水平线 MN上、桥 AB与 MN平行, O O ' 为铅垂线( O ' 在 AB上).经测量,左侧曲线 AO上任一点 D到 MN的距离 h 1 (米)与 D到 O O ' 的距离 a(米)之间满足关系式 h 1 = 1 40 a 2 ;右侧曲线 BO上任一点 F到 MN的距离 h 2 (米)与 F到 O O ' 的距离 b(米)之间满足关系式 h 2 = - 1 800 b 3 + 6 b .已知点 B到 O O ' 的距离为40米.
(1)求桥 AB的长度;
(2)计划在谷底两侧建造平行于 O O ' 的桥墩 CD和 EF,且 CE为80米,其中 C, E在 AB上(不包括端点).桥墩 EF每米造价 k(万元)、桥墩 CD每米造价 3 2 k (万元)( k>0).问 O ' E 为多少米时,桥墩 CD与 EF的总造价最低?