如图,在极坐标系 Ox 中, A ( 2 , 0 ) , B ( 2 , π 4 ) , C ( 2 , 3 π 4 ) , D ( 2 , π ) ,弧 AB ⏜ , BC ⏜ , CD ⏜ 所在圆的圆心分别是 ( 1 , 0 ) , ( 1 , π 2 ) , ( 1 , π ) ,曲线 M 1 是弧 AB ⏜ ,曲线 M 2 是弧 BC ⏜ ,曲线 M 3 是弧 CD ⏜ .
(1)分别写出 M 1 , M 2 , M 3 的极坐标方程;
(2)曲线 M 由 M 1 , M 2 , M 3 构成,若点 P 在 M 上,且 | OP | = 3 ,求 P 的极坐标.
(本小题满分14分)下图是一个三角形数阵.从第二行起每一个数都等于它肩上两个数的和,第行的第一个数为. (Ⅰ)写出与的递推关系,并求; (Ⅱ)求第行所有数的和; (Ⅲ)求数阵中所有数的和;并证明:当时,.
(本小题满分13分)已知两定点,平面上动点满足. (Ⅰ)求动点的轨迹的方程; (Ⅱ)过点的直线与交于两点,且,当时,求直线的斜率的取值范围.
(本小题满分12分)如图,用一块形状为半椭圆的铁皮截取一个以短轴为底的等腰梯形,问:怎样截才能使所得等腰梯形的面积最大?
(本小题满分12分)如图,在正三棱柱中,分别是的中点,. (Ⅰ)在棱上是否存在点使?如果存在,试确定它的位置;如果不存在,请说明理由; (Ⅱ)求截面与底面所成锐二面角的正切值; (Ⅲ)求点到截面的距离.
(本小题满分12分)甲、乙两篮球运动员进行定点投篮,每人各投4个球,甲投篮命中的概率为,乙投篮命中的概率为. (Ⅰ)求甲至多命中2个且乙至少命中2个的概率; (Ⅱ)若规定每投蓝一次命中得3分,未命中得-1分,求乙所得分数的概率分布和数学期望.