如图,在极坐标系 Ox 中, A ( 2 , 0 ) , B ( 2 , π 4 ) , C ( 2 , 3 π 4 ) , D ( 2 , π ) ,弧 AB ⏜ , BC ⏜ , CD ⏜ 所在圆的圆心分别是 ( 1 , 0 ) , ( 1 , π 2 ) , ( 1 , π ) ,曲线 M 1 是弧 AB ⏜ ,曲线 M 2 是弧 BC ⏜ ,曲线 M 3 是弧 CD ⏜ .
(1)分别写出 M 1 , M 2 , M 3 的极坐标方程;
(2)曲线 M 由 M 1 , M 2 , M 3 构成,若点 P 在 M 上,且 | OP | = 3 ,求 P 的极坐标.
(本小题满分12分) 如图,A是单位圆与轴正半轴的交点,点P在单位圆上,∠AOP=(0<<),,四边形OAQP的面积为S. (1) 求的最大值及此时的值0. (2) 设点B的坐标为(),∠AOB=,在(1)的条件下, 求△BOP的面积S0.
.(本小题满分14分) 在平面直角坐标系上,设不等式组()所表示的平面区域为,记内的整点(即横坐标和纵坐标均为整数的点)的个数为.(Ⅰ)求并猜想的表达式再用数学归纳法加以证明;(Ⅱ)设数列的前r项和为,数列的前r项和,是否存在自然数m?使得对一切,恒成立。若存在,求出m的值,若不存在,请说明理由。
.(本小题满分14分) 已知函数是函数的极值点. (1)求实数的值; (2)若方程有两个不相等的实数根,求实数m的取值.
(本小题满分14分) 设圆过点P(0,2), 且在轴上截得的弦RG的长为4. (1)求圆心的轨迹E的方程; (2)过点(0,1),作轨迹的两条互相垂直的弦,设、的中点分别为、,试判断直线是否过定点?并说明理由.
.(本小题满分14分) 如图,已知正方体的棱长为2,E、F分别是、的中点,过、E、F作平面交于G.. (Ⅰ)求证:∥; (Ⅱ)求二面角的余弦值; (Ⅲ)求正方体被平面所截得的几何体的体积.