已知椭圆 $\mathrm{C}:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\mathrm{}(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2},A(a,0),B(0,b),O(0,0),\mathrm{\Delta }\mathit{OAB}$ 的面积为 1 .

(1) 求椭圆 C 的方程;

(2) 设 $P$ 的椭圆 $C$ 上一点, 直线 $\mathit{PA}$ 与 $y$ 轴交于点 $\mathrm{M}$ , 直线 $\mathrm{PB}$ 与 $x$ 轴交于点 $\mathrm{N}$ .

求证: $\left|\mathit{AN}\right|\cdot \left|\mathit{BM}\right|$ 为定值.