高中数学
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推理与证明
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如图,设椭圆 C x 2 a 2 + y 2 = 1 a 1

image.png

(1)求直线 y = kx + 1 被椭圆截得到的弦长(用a,k表示)

(2)若任意以点 A 0 1 为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点,求椭圆的离心率的取值范围.

来源:2016年全国统一高考数学试卷(浙江卷)
  • 更新:2022-08-02
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

已知 a 3 ,函数 F x = min { 2 | x 1 | x 2 2 ax + 4 a 2 } ,其中 min p q = p , p q q , p > q

(1)求使得等式 F x = x 2 2 ax + 4 a 2 成立的x的取值范围

(2)(1)求 F x 的最小值 m a

(3)求 F x [ 0 6 ] 上的最大值 M a

来源:2016年全国统一高考数学试卷(浙江卷)
  • 更新:2021-09-26
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

如图,在三棱台 ABC DEF 中,已知平面 BCFE 平面 ABC ACB = 90 ° BE = EF = FC = 1 BC = 2 AC = 3

image.png

(1)求证: EF 平面 ACFD

(2)求二面角 B AD F 的余弦值.

来源:2016年全国统一高考数学试卷(浙江卷)
  • 更新:2022-08-02
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

ABC 中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知 b + c = 2 acosB

(1)证明: A = 2 B

(2)若 ABC 的面积 S = a 2 4 ,求角A的大小.

来源:2016年全国统一高考数学试卷(浙江卷)
  • 更新:2021-09-26
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

已知函数 f x = e x cosx x

(1)求曲线 y = f x 在点 0 f 0 处的切线方程;

(2)求函数 f x 在区间 [ 0 π 2 ] 上的最大值和最小值.

来源:2017年全国统一高考数学试卷(北京卷)
  • 更新:2021-09-26
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

已知抛物线 C y 2 = 2 px 过点 P 1 1 .过点 0 1 2 作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A,B,其中O为原点.

(1)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程;

(2)求证:A为线段BM的中点.

来源:2017年全国统一高考数学试卷(北京卷)
  • 更新:2021-09-26
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

为了研究一种新药的疗效,选100名患者随机分成两组,每组各 50 名,一组服药,另一组不服药.一段时间后,记录了两组患者的生理指标 x y 的数据,并制成如图,其中“*”表示服药者,“+”表示未服药者.

image.png

(1)从服药的50名患者中随机选出一人,求此人指标 y 的值小于 60 的概率;

(2)从图中A,B,C,D四人中随机选出两人,记 ξ 为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数,求 ξ 的分布列和数学期望 E ξ

(3)试判断这100名患者中服药者指标 y 数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.(只需写出结论)

来源:2017年全国统一高考数学试卷(北京卷)
  • 更新:2022-08-02
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

如图,在四棱锥 P ABCD 中,底面 ABCD 为正方形,平面 PAD 平面 ABCD ,点M在线段PB上, PD 平面 MAC PA = PD = 6 AB = 4

image.png

(1)求证:M为PB的中点;

(2)求二面角 B PD A 的大小;

(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值.

来源:2017年全国统一高考数学试卷(北京卷)
  • 更新:2022-08-02
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

ABC 中, A = 60 ° c = 3 7 a

(1)求 sinC 的值;

(2)若 a = 7 ,求 ABC 的面积.

来源:2017年全国统一高考数学试卷(北京卷)
  • 更新:2021-09-26
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

设常数 t > 2 ,在平面直角坐标系xOy中,已知点F(2,0),直线 l x = t ,曲线 Γ y ² = 8 x 0 x t y 0  , l 与x轴交于点A,与 Γ 交于点B,P、Q分别是曲线 Γ 与线段AB上的动点。    

(1)用t表示点B到点F的距离;    

(2)设t=3, FQ = 2 ,线段OQ的中点在直线FP上,求△AQP的面积;    

(3)设t=8,是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ,使得点E在 Γ 上?若存在,求点P的坐标;若不存在,说明理由。    

来源:2018年全国统一高考数学试卷(上海卷)
  • 更新:2021-09-26
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时,某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤,分析显示:当S中 x % ( 0 < x < 100 ) 的成员自驾时,自驾群体的人均通勤时间为

f ( x ) = { 30 , 0 < x 30 2 x + 1800 x - 90 , 30 < x < 100 (单位:分钟),

而公交群体的人均通勤时间不受x影响,恒为40分钟,试根据上述分析结果回答下列问题:

(1)当x在什么范围内时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间?    

(2)求该地上班族S的人均通勤时间 g x 的表达式;讨论 g x 的单调性,并说明其实际意义。

来源:2018年全国统一高考数学试卷(上海卷)
  • 更新:2021-09-26
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

设常数 a R ,函数   f x = asin 2 x + 2 co s 2 x    

(1)若 f x 为偶函数,求 a 的值;    

(2)若 f π 4 = 3 + 1 ,求方程 f x = 1 - 2 在区间 - π π 上的解。

来源:2018年全国统一高考数学试卷(上海卷)
  • 更新:2021-09-26
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

已知圆锥的顶点为 P ,底面圆心为 O ,半径为 2

image.png

(1)设圆锥的母线长为4,求圆锥的体积;

(2)设 P O = 4 O A O B 是底面半径,且 A O B = 90 ° ,M为线段AB的中点,如图,求异面直线PM与OB所成的角的大小.

来源:2018年全国统一高考数学试卷(上海卷)
  • 更新:2022-08-02
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

在平面直角坐标系 xOy 中,点P到点F 3 , 0 的距离的4倍与它到直线 x = 2 的距离的3倍之和记为d,当P点运动时,d恒等于点P的横坐标与18之和

(Ⅰ)求点P的轨迹C;

(Ⅱ)设过点F的直线I与轨迹C相交于M,N两点,求线段MN长度的最大值。

来源:2009年全国统一高考理科数学试卷(湖南卷)
  • 更新:2021-09-24
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距 m 米,余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩,经预测,一个桥墩的工程费用为256万元,距离为 x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为 ( 2 + x ) x 万元。假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其他因素,记余下工程的费用为 y 万元。

(Ⅰ)试写出 y 关于 x 的函数关系式;

(Ⅱ)当 m =640米时,需新建多少个桥墩才能使 y 最小?

来源:2009年全国统一高考理科数学试卷(湖南卷)
  • 更新:2021-09-24
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

高中数学解答题