高中数学
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某企业有两个分厂生产某种零件,按规定内径尺寸(单位:mm)的值落在(29.94,30.06)的零件为优质品。从两个分厂生产的零件中个抽出500件,量其内径尺寸,的结果如下表:

    

(Ⅰ)试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率;

(Ⅱ)由于以上统计数据填下面 2 × 2 列联表,并问是否有99%的把握认为"两个分厂生产的零件的质量有差异"。

附: x 2 = n ( n 11 n 22 - n 12 n 21 ) 2 n 1 + n 2 + n + 1 n + 2 , p ( x 2 k ) k 0 . 05     0 . 01 3 . 841     6 . 635

来源:2009年全国统一高考文科数学试卷(辽宁卷)
  • 更新:2021-09-17
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

如图,已知两个正方形ABCD 和DCEF不在同一平面内,M,N分别为AB,DF的中点。

(Ⅰ)若 CD = 2 平面 ABCD 平面 DCEF ,求直线MN的长;

(Ⅱ)用反证法证明:直线ME与BN是两条异面直线。

来源:2009年全国统一高考文科数学试卷(辽宁卷)
  • 更新:2021-09-17
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

如图,A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为 7 5 0 3 0 0 ,于水面C处测得B点和D点的仰角均为 6 0 0 ,AC=0.1km。试探究图中B,D间距离与另外哪两点距离相等,然后求B,D的距离(计算结果精确到0.01km, 2 1.414, 6 2.449)   

来源:2009年全国统一高考文科数学试卷(辽宁卷)
  • 更新:2021-09-17
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

等比数列 a n 的前n 项和为 s n ,已知 S 1 , S 3 , S 2 成等差数列

(1)求 a n 的公比 q

(2)求 a 1 - a 3 = 3 s n      

来源:2009年全国统一高考文科数学试卷(辽宁卷)
  • 更新:2021-09-17
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

已知函数 f ( x ) = 1 3 x 3 + a x 2 + bx ,且 f ' ( - 1 ) = 0                   

(1) 试用含 a 的代数式表示b,并求 f ( x ) 的单调区间;

(2)令 a = - 1 ,设函数 f ( x ) x 1 , x 2 ( x 1 < x 2 ) 处取得极值,记点 M x 1 , f ( x 1 ) N x 2 , f ( x 2 ) P m , f ( m ) , x 1 < m < x 2 ,请仔细观察曲线 f ( x ) 在点P处的切线与线段MP的位置变化趋势,并解释以下问题:

(Ⅰ)若对任意的 m x 1 , x 2 ,线段MP与曲线 f ( x ) 均有异于M,P的公共点,试确定t的最小值,并证明你的结论;

(Ⅱ)若存在点 Q n , f n , x n < m ,使得线段 PQ 与曲线 f ( x ) 有异于 P Q 的公共点,请直接写出 m 的取值范围(不必给出求解过程)        

来源:2009年全国统一高考理科数学试卷(福建卷)
  • 更新:2021-09-16
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

已知A,B 分别为曲线C: x 2 a 2 + y 2 = 1 y 0 , a > 0 与x轴的左、右两个交点,直线 l 过点B,且与 x 轴垂直,S为 l 上异于点B的一点,连结AS交曲线C于点T.

(1)若曲线C为半圆,点T为圆弧 AB 的三等分点,试求出点S的坐标;

(2)如图,点M是以SB为直径的圆与线段TB的交点,试问:是否存在 a ,使得O,M,S三点共线?若存在,求出 a 的值,若不存在,请说明理由。               

来源:2009年全国统一高考理科数学试卷(福建卷)
  • 更新:2021-09-16
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

如图,某市拟在长为的道路OP的一侧修建一条运动赛道,赛道的前一部分为曲线段 OSM ,该曲线段为函数 y = A sin ω x A > 0 , ω > 0 x 0 , 4 的图象,且图象的最高点为 S 3 , 2 3 ;赛道的后一部分为折线段 MNP ,为保证参赛运动员的安全,限定 MNP = 120 °

(Ⅰ)求A , ω 的值和M,P两点间的距离;

(Ⅱ)应如何设计,才能使折线段赛道 MNP 最长?                                          

来源:2009年全国统一高考理科数学试卷(福建卷)
  • 更新:2021-09-16
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

如图,四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形, MD 平面 ABCD NB 平面 ABCD ,且 MD = NB = 1 E BC 的中点.

(1)求异面直线NE与AM所成角的余弦值

(2)在线段AN上是否存在点S,使得 ES 平面 AMN ?若存在,求线段AS的长;若不存在,请说明理由                       

来源:2009年全国统一高考理科数学试卷(福建卷)
  • 更新:2021-09-16
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

从集合 1 , 2 , 3 , 4 , 5 的所有非空子集中,等可能地取出一个。

(1)记性质r:集合中的所有元素之和为10,求所取出的非空子集满足性质r的概率;

(2)记所取出的非空子集的元素个数为 ξ ,求 ξ 的分布列和数学期望

来源:2009年全国统一高考理科数学试卷(福建卷)
  • 更新:2021-09-16
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

已知二次函数 y = g ( x ) 的导函数的图像与直线 y = 2 x 平行,且 y = g ( x ) x = - 1 处取得极小值 m - 1 ( m 0 ) .设 f ( x ) = g ( x ) x

(1)若曲线 y = f ( x ) 上的点 P 到点 Q ( 0 , 2 ) 的距离的最小值为 2 ,求 m 的值;

(2) k ( k R ) 如何取值时,函数 y = f ( x ) - kx 存在零点,并求出零点.

来源:2009年全国统一高考理科数学试卷(广东卷)
  • 更新:2021-09-15
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

已知曲线 C : y = x 2 与直线 l : x - y + 2 = 0 交于两点 A ( x A , y A ) B ( x B , y B ) ,且 x A < x B .记曲线 C 在点 A 和点 B 之间那一段 L 与线段 AB 所围成的平面区域(含边界)为 D .设点 P ( s , t ) L 上的任一点,且点 P 与点 A 和点 B 均不重合.

(1)若点 Q 是线段 AB 的中点,试求线段 PQ 的中点 M 的轨迹方程;

(2)若曲线 G : x 2 - 2 ax + y 2 - 4 y + a 2 + 51 25 = 0 与点 D 有公共点,试求 a 的最小值.

来源:2009年全国统一高考理科数学试卷(广东卷)
  • 更新:2021-09-15
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

如下图,已知正方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1 的棱长为2,点E是正方形 BC C 1 B 1 的中心,点F、G分别是棱 C 1 D 1 , A A 1 的中点.设点 E 1 , G 1 分别是点E,G在平面 DC C 1 D 1 内的正投影.

(1)求以E为顶点,以四边形 FGAE 在平面 DC C 1 D 1 内的正投影为底面边界的棱锥的体积;

(2)证明:直线 F G 1 平面 FE E 1

(3)求异面直线 E 1 G 1 EA 所成角的正弦值.

来源:2009年全国统一高考理科数学试卷(广东卷)
  • 更新:2021-09-15
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

根据空气质量指数API(为整数)的不同,可将空气质量分级如下表:

对某城市一年( 365天)的空气质量进行监测,获得的API数据按照区间 [ 0 , 50 ] , ( 50 , 100 ] , ( 100 , 150 ] , ( 150 , 200 ] , ( 200 , 250 ] , ( 250 , 300 ] 进行分组,得到频率分布直方图如下图.

                         

(1)求直方图中 x 的值;

(2)计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数;

(3)求该城市某一周至少有 2天的空气质量为良或轻微污染的概率.

(结果用分数表示.已知 5 7 = 78125 , 2 7 = 128 , 3 1825 + 2 365 + 7 1825 + 3 1825 + 8 9125 = 123 9125 , 365 = 73 × 5

来源:2009年全国统一高考理科数学试卷(广东卷)
  • 更新:2021-09-15
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

已知向量 a = ( sin θ , - 2 ) b = ( 1 , cos θ ) 互相垂直,其中 θ ( 0 , π 2 )

(1)求 sin θ cos θ 的值;

(2)若 sin ( θ - φ ) = 10 10 , 0 < φ < π 2 ,求 cos φ 的值.     

来源:2009年全国统一高考理科数学试卷(广东卷)
  • 更新:2021-09-15
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

已知函数 f x = x 3 + 1 - a x 2 - a a + 2 x + b ( a , b R ) .

(Ⅰ)若函数 f x 的图像过原点,且在原点处的切线斜率是-3,求ab的值;

(Ⅱ)若函数 f x 在区间 - 1 , 1 上不单调,求a的取值范围.       

来源:2009年全国统一高考文科数学试卷(浙江卷)
  • 更新:2021-09-13
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

高中数学解答题