如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，

更新 2022-09-04
科目数学
题型解答题
难度中等
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如图，四边形 $ABCD$ 是边长为 $1$ 的正方形， $MD ⊥ 平面 ABCD$ ， $NB ⊥ 平面 ABCD$ ，且 $MD = NB = 1$ ， $E$ 为 $BC$ 的中点.

（1）求异面直线NE与AM所成角的余弦值

（2）在线段AN上是否存在点S，使得 $ES ⊥ 平面 AMN$ ？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由

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如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是矩形.已知 $A B = 3, A D = 2, P A = 2, P D = 2 \sqrt{2}, ∠ P A B = 60^{°}$ .

（Ⅰ）证明 $A D ⊥$ 平面 $P A B$ ；
（Ⅱ）求异面直线 $P C$ 与 $A D$ 所成的角的大小；
（Ⅲ）求二面角 $P - B D - A$ 的大小.

题型：未知
难度：未知

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甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为 $\frac{1}{2}$ 与 $p$ ，且乙投球2次均未命中的概率为 $\frac{1}{16}$ .
（Ⅰ）求乙投球的命中率 $p$ ；
（Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为 $ξ$ ，求 $ξ$ 的分布列和数学期望.

题型：未知
难度：未知

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已知 $\cos (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{10}, x \in (\frac{π}{2}, \frac{3 π}{4})$ .
（Ⅰ）求 $\sin x$ 的值；
（Ⅱ）求 $\sin (2 x + \frac{π}{3})$ 的值.

题型：未知
难度：未知

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已知中心在原点的双曲线 $C$ 的一个焦点是 $F_{1} (- 3, 0)$ ,一条渐近线的方程是 $\sqrt{5} x - 2 y = 0$ .
(Ⅰ)求双曲线 $C$ 的方程；
(Ⅱ)若以 $k (k \neq 0)$ 为斜率的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 相交于两个不同的点 $M, N$ ,线段 $M N$ 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为 $\frac{81}{2}$ ,求 $k$ 的取值范围.

题型：未知
难度：未知

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已知数列 ${a_{n}}$ 的首项 $a_{1} = \frac{3}{5}$ ， $a_{n + 1} = \frac{3 a_{n}}{2 a_{n} + 1}$ ， $n = 1, 2 . . .$ ．
（Ⅰ）求 ${a_{n}}$ 的通项公式；
（Ⅱ）证明：对任意的 $x > 0$ ， $a_{n} \geq \frac{1}{1 + x} - \frac{1}{(1 + x)^{2}} (\frac{2}{3^{n}} - x), n = 1, 2 . . .$ ;
（Ⅲ）证明： $a_{1} + a_{2} + . . . + a_{n} > \frac{n^{2}}{n + 1}$ ．

题型：未知
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