某企业有两个分厂生产某种零件,按规定内径尺寸(单位:mm)的值落在(29.94,30.06)的零件为优质品。从两个分厂生产的零件中个抽出500件,量其内径尺寸,的结果如下表:
(Ⅰ)试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率;
(Ⅱ)由于以上统计数据填下面 2 × 2 列联表,并问是否有99%的把握认为"两个分厂生产的零件的质量有差异"。
附: x 2 = n ( n 11 n 22 - n 12 n 21 ) 2 n 1 + n 2 + n + 1 n + 2 , p ( x 2 ≥ k ) k 0 . 05 0 . 01 3 . 841 6 . 635
(本小题满分14分)已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上,椭圆上的点到 两个焦点的距离之和为,离心率. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)设椭圆的左、右焦点分别为、,过点的直线与该椭圆交于点、, 以、为邻边作平行四边形,求该平行四边形对角线的长度 的最大值.
(本小题满分14分)如图,正方形和四边形所在的平面互相垂直,,,, (Ⅰ)求证:; (Ⅱ)求异面直线所成角的余弦值.
(本小题满分14分) 已知命题:存在,使;命题:方程表示双曲线.若命题“”为真命题,求实数的取值范围.
(长为3的线段的两个端点分别在轴上移动,点在直线上且满足.(I)求点的轨迹的方程;(II)记点轨迹为曲线,过点任作直线交曲线于两点,过作斜率为的直线交曲线于另一点.求证:直线与直线的交点为定点(为坐标原点),并求出该定点.
(设函数,且为的极值点. (Ⅰ) 若为的极大值点,求的单调区间(用表示); (Ⅱ)若恰有1解,求实数的取值范围.