已知曲线 $C:y=x^2$与直线 $l:x-y+2=0$交于两点 $A(x_A,y_A)$和 $B(x_B,y_B)$，且 $x_A<x_B$．记曲线 $C$在点 $A$和点 $B$之间那一段 $L$与线段 $\mathit{AB}$所围成的平面区域（含边界）为 $D$．设点 $P(s,t)$是 $L$上的任一点，且点 $P$与点 $A$和点 $B$均不重合．

（１）若点 $Q$是线段 $\mathit{AB}$的中点，试求线段 $\mathit{PQ}$的中点 $M$的轨迹方程；

（２）若曲线 $G:x^2-2\mathit{ax}+y^2-4y+a^2+\frac{51}{25}=0$与点 $D$有公共点，试求 $a$的最小值．