已知抛物线C：y22px过点P1，1．过点0，12作直线l与

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已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 px$ 过点 $P (1 ， 1)$ ．过点 $(0 ， \frac{1}{2})$ 作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点．

（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；

（2）求证：A为线段BM的中点．

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