为了研究一种新药的疗效,选100名患者随机分成两组,每组各 50 名,一组服药,另一组不服药.一段时间后,记录了两组患者的生理指标 x 和 y 的数据,并制成如图,其中“*”表示服药者,“+”表示未服药者.
(1)从服药的50名患者中随机选出一人,求此人指标 y 的值小于 60 的概率;
(2)从图中A,B,C,D四人中随机选出两人,记 ξ 为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数,求 ξ 的分布列和数学期望 E ( ξ ) ;
(3)试判断这100名患者中服药者指标 y 数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.(只需写出结论)
(本小题满分12分)已知直三棱柱中,,为中点,为中点,侧面为正方形。 (1)证明:平面; (2)证明:;
(本小题满分12分) 已知直线经过直线与直线的交点,且垂直于直线. (1)求直线的方程; (2)求直线与两坐标轴围成的三角形的面积.
(本小题满分16分)已知椭圆:的离心率为,直线:与椭圆相切. (1)求椭圆的方程; (2)设椭圆的左焦点为,右焦点为,直线过点且垂直与椭圆的长轴,动直线垂直于直线于点,线段的垂直平分线交于点,求点的轨迹的方程.
(本小题满分16分)如图,平面直角坐标系中,和为等腰直角三角形,,设和的外接圆圆心分别为. (Ⅰ)若圆M与直线相切,求直线的方程; (Ⅱ)若直线截圆N所得弦长为4,求圆N的标准方程; (Ⅲ)是否存在这样的圆N,使得圆N上有且只有三个点到直线的距离为,若存在,求此时圆N的标准方程;若不存在,说明理由.
(本小题满分15分) 设. (1)求函数的单调递增、递减区间; (2)求函数在区间上的最大值和最小值.