高中数学解答题

如图，在三棱锥 $A-\mathit{BCD}$中，平面 $\mathit{ABD}\perp$平面 $\mathit{BCD}$， $\mathit{AB}=\mathit{AD}$， $O$为 $\mathit{BD}$的中点.

（1）证明： $\mathit{OA}\perp \mathit{CD}$；

（2）若 $△\mathit{OCD}$是边长为1的等边三角形，点 $E$在棱 $\mathit{AD}$上， $\mathit{DE}=2\mathit{EA}$，且二面角 $E-\mathit{BC}-D$的大小为 $45°$，求三棱锥 $A-\mathit{BCD}$的体积.

记 $△\mathit{ABC}$是内角 $A$， $B$， $C$的对边分别为 $a$， $b$， $c$.已知 $b^2=\mathit{ac}$，点 $D$在边 $\mathit{AC}$上， $\mathit{BD}\mathit{sin}\angle \mathit{ABC}=a\mathit{sin}C$.

（1）证明：；

（2）若 $\mathit{AD}=2\mathit{DC}$，求 $\mathit{cos}\angle \mathit{ABC}$

某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束：若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分：B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，己知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.

（1）若小明先回答A类问题，记 $X$为小明的累计得分，求 $X$的分布列；

（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.

已知数列 $\left\{a_n\right\}$满足 $a_1=1$， $a_{n+1}=\left\{\begin{array}{c}{a}_n+1,n\mathit{为奇数},\\ a_n+2,n\mathit{为偶数}.\end{array}\right.$

（1）记 $b_n=a_{2n}$，写出 $b_1$， $b_2$，并求数列 $\left\{b_n\right\}$的通项公式；

（2）求 $\left\{a_n\right\}$的前20项和.

在直角坐标系 $\mathit{xOy}$中， $\odot C$的圆心为，半径为1．

（1）写出 $\odot C$的一个参数方程;

（2）过点 $F\left(4,1\right)$作 $\odot C$的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．

已知函数 $f\left(x\right)=x^3-x^2+\mathit{ax}+1$．

（1）讨论 $f\left(x\right)$的单调性；

（2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标．

已知抛物线 $C:y^2=2\mathit{px}(p>0)$的焦点F到准线的距离为2．

（1）求C的方程;

（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足 $\overrightarrow{\mathit{PQ}}=9\overrightarrow{\mathit{QF}}$，求直线 $\mathit{OQ}$斜率的最大值.

设 $\left\{a_n\right\}$是首项为1的等比数列，数列 $\left\{b_n\right\}$满足 $b_n=\frac{n{a}_n}{3}$．已知 $a_1$， $3a_2$， $9a_3$成等差数列．

（1）求 $\left\{a_n\right\}$和 $\left\{b_n\right\}$的通项公式；

（2）记 $S_n$和 $T_n$分别为 $\left\{a_n\right\}$和 $\left\{b_n\right\}$的前n项和．证明： $T_n<\frac{S_n}{2}$．

如图，四棱锥 $P-\mathit{ABCD}$的底面是矩形， $\mathit{PD}\perp$底面 $\mathit{ABCD}$，M为 $\mathit{BC}$的中点，且 $\mathit{PB}\perp \mathit{AM}$．

（1）证明：平面 $\mathit{PAM}\perp$平面 $\mathit{PBD}$；

（2）若 $\mathit{PD}=\mathit{DC}=1$，求四棱锥 $P-\mathit{ABCD}$的体积．

某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：

旧设备	9.8	10.3	10.0	10.2	9.9	9.8	10.0	10.1	10.2	9.7
新设备	10.1	10.4	10.1	10.0	10.1	10.3	10.6	10.5	10.4	10.5

旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 $\bar{x}$和 $\bar{y}$，样本方差分别记为 $S_1^2$和 $S_2^2$．

（1）求 $\bar{x}$， $\bar{y}$， $S_1^2$， $S_2^2$；

（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果 $\bar{y}-\bar{x}\ge 2\sqrt{\frac{S_1^2+S_2^2}{10}}$，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．

在直角坐标系 $\mathit{xOy}$中， $\odot C$的圆心为，半径为1．

（1）写出 $\odot C$的一个参数方程;

（2）过点 $F\left(4,1\right)$作 $\odot C$的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．

已知抛物线 $C:x^2=2\mathit{py}\left(p>0\right)$的焦点为 $F$，且 $F$与圆 $M:x^2+(y+4{)}^2=1$上点的距离的最小值为 $4$．

（1）求 $p$；

（2）若点 $P$在 $M$上， $\mathit{PA},\mathit{PB}$是 $C$的两条切线， $A,B$是切点，求 $△\mathit{PAB}$面积的最大值．

设函数 $f\left(x\right)=\mathit{ln}\left(a-x\right)$，已知 $x=0$是函数 $y=\mathit{xf}\left(x\right)$的极值点．

（1）求a；

（2）设函数 $g\left(x\right)=\frac{x+f\left(x\right)}{\mathit{xf}\left(x\right)}$．证明: $g\left(x\right)<1$．

记 $S_n$为数列 $\left\{a_n\right\}$的前n项和， $b_n$为数列 $\left\{S_n\right\}$的前n项积，已知 $\frac{2}{S_n}+\frac{1}{b_n}=2$．

（1）证明：数列 $\left\{b_n\right\}$是等差数列;

（2）求 $\left\{a_n\right\}$的通项公式．

如图，四棱锥 $P-\mathit{ABCD}$的底面是矩形， $\mathit{PD}\perp$底面 $\mathit{ABCD}$， $\mathit{PD}=\mathit{DC}=1$， $M$为 $\mathit{BC}$的中点，且 $\mathit{PB}\perp \mathit{AM}$．

（1）求 $\mathit{BC}$；

（2）求二面角 $A-\mathit{PM}-B$的正弦值．