高中数学解答题

在三棱锥 A- BCD中，已知 CB= CD= $\sqrt{5}$ , BD=2， O为 BD的中点， AO⊥平面 BCD， AO=2， E为 AC的中点．

（1）求直线 AB与 DE所成角的余弦值；

（2）若点 F在 BC上，满足 BF= $\frac{1}{4}$ BC，设二面角 F- DE- C的大小为 θ，求sin θ的值．

在平面直角坐标系 xOy中，已知椭圆 $E:\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$ 的左、右焦点分别为 F ₁， F ₂，点 A在椭圆 E上且在第一象限内， AF ₂⊥ F ₁ F ₂，直线 AF ₁与椭圆 E相交于另一点 B．

（1）求△ AF ₁ F ₂的周长；

（2）在 x轴上任取一点 P，直线 AP与椭圆 E的右准线相交于点 Q，求 $\overrightarrow{\mathit{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathit{QP}}$ 的最小值；

（3）设点 M在椭圆 E上，记△ OAB与△ MAB的面积分别为 S ₁， S ₂，若 S ₂=3 S ₁，求点 M的坐标．

某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底 O在水平线 MN上、桥 AB与 MN平行， $O{O}^{\text{'}}$ 为铅垂线( $O^{\text{'}}$ 在 AB上).经测量，左侧曲线 AO上任一点 D到 MN的距离 $h_1$ (米)与 D到 $O{O}^{\text{'}}$ 的距离 a(米)之间满足关系式 $h_1=\frac{1}{40}{a}^2$ ；右侧曲线 BO上任一点 F到 MN的距离 $h_2$ (米)与 F到 $O{O}^{\text{'}}$ 的距离 b(米)之间满足关系式 $h_2=-\frac{1}{800}{b}^3+6b$ .已知点 B到 $O{O}^{\text{'}}$ 的距离为40米.

（1）求桥 AB的长度；

（2）计划在谷底两侧建造平行于 $O{O}^{\text{'}}$ 的桥墩 CD和 EF，且 CE为80米，其中 C， E在 AB上(不包括端点).桥墩 EF每米造价 k(万元)、桥墩 CD每米造价 $\frac{3}{2}k$ (万元)( k>0).问 $O^{\text{'}}E$ 为多少米时，桥墩 CD与 EF的总造价最低?

在△ ABC中，角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，已知 $a=3,c=\sqrt{2},B=45°$ ．

（1）求 $\mathit{sin}C$ 的值；

（2）在边 BC上取一点 D，使得 $\mathit{cos}\angle \mathit{ADC}=-\frac{4}{5}$ ，求 $\mathit{tan}\angle \mathit{DAC}$ 的值．

在三棱柱 ABC- A ₁ B ₁ C ₁中， AB⊥ AC， B ₁ C⊥平面 ABC， E， F分别是 AC， B ₁ C的中点．

（1）求证： EF∥平面 AB ₁ C ₁；

（2）求证：平面 AB ₁ C⊥平面 ABB ₁．

已知 $\left\{a_n\right\}$为等差数列， $\left\{b_n\right\}$为等比数列， $a_1=b_1=1,a_5=5\left(a_4-a_3\right),b_5=4\left(b_4-b_3\right)$．

（Ⅰ）求 $\left\{a_n\right\}$和 $\left\{b_n\right\}$的通项公式；

（Ⅱ）记 $\left\{a_n\right\}$的前 $n$项和为 $S_n$，求证： $S_n{S}_{n+2}<S_{n+1}^2\left(n\in {\mathit{N}}^{*}\right)$；

（Ⅲ）对任意的正整数 $n$，设 $c_n=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\left(3a_n-2\right)b_n}{a_n{a}_{n+2}},& n\mathit{为奇数},\\ \frac{a_{n-1}}{b_{n+1}},& n\mathit{为偶数}.\end{array}\right.$求数列 $\left\{c_n\right\}$的前 $2n$项和．

已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的一个顶点为 $A(0,-3)$，右焦点为 $F$，且 $\left|\mathit{OA}\right|=\left|\mathit{OF}\right|$，其中 $O$为原点．

（Ⅰ）求椭圆方程；

（Ⅱ）已知点 $C$满足 $3\overrightarrow{\mathit{OC}}=\overrightarrow{\mathit{OF}}$，点 $B$在椭圆上（ $B$异于椭圆的顶点），直线 $\mathit{AB}$与以 $C$为圆心的圆相切于点 $P$，且 $P$为线段 $\mathit{AB}$的中点．求直线 $\mathit{AB}$的方程．

如图，在三棱柱 $\mathit{ABC}-A_1{B}_1{C}_1$ 中， $C{C}_1\perp$ 平面 $\mathit{ABC},\mathit{AC}\perp \mathit{BC},\mathit{AC}=\mathit{BC}=2$ ， $C{C}_1=3$ ，点 $D,\mathit{\hspace{1em}E}$ 分别在棱 $A{A}_1$ 和棱 $C{C}_1$ 上，且 $\mathit{AD}=1\mathit{\hspace{1em}CE}=2,\mathit{\hspace{1em}M}$ 为棱 $A_1{B}_1$ 的中点．

（Ⅰ）求证： $C_{1}M\perp B_{1}D$ ；

（Ⅱ）求二面角 $B-B_{1}E-D$ 的正弦值；

（Ⅲ）求直线 $\mathit{AB}$ 与平面 $D{B}_{1}E$ 所成角的正弦值．

在 $△\mathit{ABC}$中，角所对的边分别为 $a,b,c$．已知 $a=2\sqrt{2},b=5,c=\sqrt{13}$．

（Ⅰ）求角 $C$的大小；

（Ⅱ）求 $\mathit{sin}A$的值；

（Ⅲ）求 $\mathit{sin}\left(2A+\frac{\pi }{4}\right)$的值．

如图，已知椭圆 $C_1:\frac{x^2}{2}+y^2=1$ ，抛物线 $C_2:y^2=2\mathit{px}(p>0)$ ，点 A是椭圆 $C_1$ 与抛物线 $C_2$ 的交点，过点 A的直线 l交椭圆 $C_1$ 于点 B，交抛物线 $C_2$ 于 M（ B， M不同于 A）．

（Ⅰ）若 $p=\frac{1}{16}$ ，求抛物线 $C_2$ 的焦点坐标；

（Ⅱ）若存在不过原点的直线 l使 M为线段 AB的中点，求 p的最大值．

已知数列{a_n}，{b_n}，{c_n}中， $a_1=b_1=c_1=1,c_n=a_{n+1}-a_n,c_{n+1}=\frac{b_n}{b_{n+2}}\cdot c_n(n\in N^{*})$．

（Ⅰ）若数列{b_n}为等比数列，且公比 $q>0$，且 $b_1+b_2=6b_3$，求q与a_n的通项公式；

（Ⅱ）若数列{b_n}为等差数列，且公差 $d>0$，证明： $c_1+c_2+\cdots +c_n<1+\frac{1}{d}$．

如图，三棱台 DEF- ABC中，面 ADFC⊥面 ABC，∠ ACB=∠ ACD=45°， DC=2 BC．

（I）证明： EF⊥ DB；

（II）求 DF与面 DBC所成角的正弦值．

在锐角△ ABC中，角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，且 $2b\mathit{sin}A=\sqrt{3}a$ ．

（I）求角 B；

（II）求cos A+cos B+cos C的取值范围．

已知椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$过点 $A(-2,-1)$，且 $a=2b$．

（Ⅰ）求椭圆C的方程：

（Ⅱ）过点的直线l交椭圆C于点 $M,N$,直线 $\mathit{MA},\mathit{NA}$分别交直线 $x=-4$于点 $P,Q$．求 $\frac{\left|\mathit{PB}\right|}{\left|\mathit{BQ}\right|}$的值．

已知函数 $f\left(x\right)=12-x^2$．

（Ⅰ）求曲线 $y=f\left(x\right)$的斜率等于 $-2$的切线方程；

（Ⅱ）设曲线 $y=f\left(x\right)$在点 $(t,f(t\left)\right)$处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 $S\left(t\right)$，求 $S\left(t\right)$的最小值．