已知函数 , 为 的导函数.
(Ⅰ)当 时,
(i)求曲线 在点 处的切线方程;
(ii)求函数 的单调区间和极值;
(Ⅱ)当 时,求证:对任意的 ,且 ,有 .
已知 ,函数 ,其中e=2.71828…为自然对数的底数.
(Ⅰ)证明:函数在 上有唯一零点;
(Ⅱ)记x0为函数在 上的零点,证明:
(ⅰ) ;
(ⅱ) .
已知 是无穷数列.给出两个性质:
①对于 中任意两项 ,在 中都存在一项 ,使 ;
②对于 中任意项 ,在 中都存在两项 .使得 .
(Ⅰ)若 ,判断数列 是否满足性质①,说明理由;
(Ⅱ)若 ,判断数列 是否同时满足性质①和性质②,说明理由;
(Ⅲ)若 是递增数列,且同时满足性质①和性质②,证明: 为等比数列.
已知A、B分别为椭圆E: (a>1)的左、右顶点,G为E的上顶点, ,P为直线x=6上的动点,PA与E的另一交点为C,PB与E的另一交点为D.
(1)求E的方程;
(2)证明:直线CD过定点.
已知函数 .
(1)当 时,求不等式 的解集;
(2)若 ,求 a的取值范围.
已知曲线C1,C2的参数方程分别为C1:(θ为参数),C2: (t为参数).
(1)将C1,C2的参数方程化为普通方程;
(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C1,C2的交点为P,求圆心在极轴上,且经过极点和P的圆的极坐标方程.
设 a, b, c R, a+ b+ c=0, abc=1.
(1)证明: ab+ bc+ ca<0;
(2)用max{ a, b, c}表示 a, b, c中的最大值,证明:max{ a, b, c}≥ .
在直角坐标系 xOy中,曲线 C的参数方程为 ( t为参数且 t≠1), C与坐标轴交于 A, B两点.
(1)求| |:
(2)以坐标原点为极点, x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求直线 AB的极坐标方程.
如果对任意 ,当 时, 都有 ,则称 是 关联的.
(1)判断和证明 是 关联的吗?是 关联的吗?
(2) 是 关联的,当 时, ,解不等式 .
(3)" 是 关联的,且是 关联的"当且仅当" 是 关联的"
定义 数列 对 , 满足:
① ;
② ;
③ .
(1) 对前 4 项 的数列, 可以是 数列吗? 说明理由.
(2) 若 是 数列, 求 的值.
(3) 是否存在 , 使得存在 数列 , 对任意 , 满足 ? 若存在, 求出所有这样的 ; 若不存在, 请说明理由.
设a,b为实数,且 ,函数
(1)求函数 的单调区间;
(2)若对任意 ,函数 有两个不同的零点,求a的取值范围;
(3)当 时,证明:对任意 ,函数 有两个不同的零点 ,满足 .
(注: 是自然对数的底数)
已知函数 .
(1)讨论 的单调性;
(2)从下面两个条件中选一个,证明: 有一个零点
① ;
② .