设a，b为实数，且 $a>1$，函数 $f\left(x\right)=a^x-\mathit{bx}+e^2(x\in R)$

（1）求函数 $f\left(x\right)$的单调区间；

（2）若对任意 $b>2e^2$，函数 $f\left(x\right)$有两个不同的零点，求a的取值范围；

（3）当 $a=e$时，证明：对任意 $b>e^4$，函数 $f\left(x\right)$有两个不同的零点 $x_1,x_2$，满足 $x_2>\frac{b\mathit{ln}b}{2e^2}{x}_1+\frac{e^2}{b}$.

(注： $e=2.71828\cdot \cdot \cdot$是自然对数的底数)