已知函数 $f\left(x\right)=x^3+k\mathit{ln}x(k\in R)$， $f^{\text{'}}\left(x\right)$为 $f\left(x\right)$的导函数．

（Ⅰ）当 $k=6$时，

（i）求曲线 $y=f\left(x\right)$在点 $(1,f(1\left)\right)$处的切线方程；

（ii）求函数 $g\left(x\right)=f\left(x\right)-f^{\text{'}}\left(x\right)+\frac{9}{x}$的单调区间和极值；

（Ⅱ）当 $k⩾-3$时，求证：对任意的 $x_1,\hspace{1em}{x}_2\in [1,+\infty )$，且 $x_1>x_2$，有 $\frac{f^{\text{'}}\left(x_1\right)+f^{\text{'}}\left(x_2\right)}{2}>\frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2}$．