初中数学解直角三角形解答题

如图，是的直径，是上一点，是的中点，为延长线上一点，且，与交于点，与交于点．

（1）求证：是的切线；

（2）若，，求直径的长．

已知在菱形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle \mathit{ABC}=60°$，对角线 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BD}$相交于点 $O$，点 $E$是线段 $\mathit{BD}$上一动点（不与点 $B$， $D$重合），连接 $\mathit{AE}$，以 $\mathit{AE}$为边在 $\mathit{AE}$的右侧作菱形 $\mathit{AEFG}$，且 $\angle \mathit{AEF}=60°$．

（1）如图1，若点 $F$落在线段 $\mathit{BD}$上，请判断：线段 $\mathit{EF}$与线段 $\mathit{DF}$的数量关系是 　  

（2）如图2，若点 $F$不在线段 $\mathit{BD}$上，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请给出判断并予以证明；

（3）若点 $C$， $E$， $G$三点在同一直线上，其它条件不变，请直接写出线段 $\mathit{BE}$与线段 $\mathit{BD}$的数量关系．

小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．

（一猜测探究

在中，，是平面内任意一点，将线段绕点按顺时针方向旋转与相等的角度，得到线段，连接．

（1）如图1，若是线段上的任意一点，请直接写出与的数量关系是　　，与的数量关系是　　；

（2）如图2，点是延长线上点，若是内部射线上任意一点，连接，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．

（二拓展应用

如图3，在△中，，，，是上的任意点，连接，将绕点按顺时针方向旋转，得到线段，连接．求线段长度的最小值．

阅读理解：

问题：我们在研究“等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离和为定值”时，如图①，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，点 $P$为底边 $\mathit{BC}$上的任意一点， $\mathit{PD}\perp \mathit{AB}$于点 $D$， $\mathit{PE}\perp \mathit{AC}$于点 $E$，求证： $\mathit{PD}+\mathit{PF}$是定值，在这个问题中，我们是如何找到这一定值的呢？

思路：我们可以将底边 $\mathit{BC}$上的任意一点 $P$移动到特殊的位置，如图②，将点 $P$移动到底边的端点 $B$处，这样，点 $P$、 $D$都与点 $B$重合，此时， $\mathit{PD}=0$， $\mathit{PE}=\mathit{BE}$，这样 $\mathit{PD}+\mathit{PE}=\mathit{BE}$．因此，在证明这一命题时，我们可以过点 $B$作 $\mathit{AC}$边上的高 $\mathit{BF}$（如图③ $)$，证明 $\mathit{PD}+\mathit{PE}=\mathit{BF}$即可．

请利用上述探索定值问题的思路，解决下列问题：

如图④，在正方形 $\mathit{ABCD}$中，一直角三角板的直角顶点 $E$在对角线 $\mathit{BD}$上运动，一条直角边始终经过点 $C$，另一条直角边与射线 $\mathit{DA}$相交于点 $F$，过点 $F$作 $\mathit{FH}\perp \mathit{BD}$，垂足为 $H$．

（1）试猜想 $\mathit{EH}$与 $\mathit{CD}$的数量关系，并加以证明；

（2）当点 $E$在 $\mathit{DB}$的延长线上运动时， $\mathit{EH}$与 $\mathit{CD}$之间存在怎样的数量关系？请在图⑤中画出图形并直接写出结论；

（3）如图⑥所示，如果将正方形 $\mathit{ABCD}$改为矩形 $\mathit{ABCD}$， $\angle \mathit{ADB}=\theta$，其它条件不变，请直接写出 $\mathit{EH}$与 $\mathit{CD}$的数量关系．

如图，在正方形 $\mathit{ABCD}$中，点 $E$为对角线 $\mathit{AC}$上的一点，连接 $\mathit{BE}$， $\mathit{DE}$．

（1）如图1，求证： $\mathit{\Delta BCE}\cong \mathit{\Delta DCE}$；

（2）如图2，延长 $\mathit{BE}$交直线 $\mathit{CD}$于点 $F$， $G$在直线 $\mathit{AB}$上，且 $\mathit{FG}=\mathit{FB}$．

①求证： $\mathit{DE}\perp \mathit{FG}$；

②已知正方形 $\mathit{ABCD}$的边长为2，若点 $E$在对角线 $\mathit{AC}$上移动，当 $\mathit{\Delta BFG}$为等边三角形时，求线段 $\mathit{DE}$的长（直接写出结果，不必写出解答过程）．

如图1，在中，，，，点、分别是边、的中点，连接．将绕点逆时针方向旋转，记旋转角为．

（1）问题发现

①当时，　　；

②当时，　　．

（2）拓展探究

试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．

（3）问题解决

绕点逆时针旋转至、、三点在同一条直线上时，求线段的长．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{BC}>\mathit{AC}$，点 $E$在 $\mathit{BC}$上， $\mathit{CE}=\mathit{CA}$，点 $D$在 $\mathit{AB}$上，连接 $\mathit{DE}$， $\angle \mathit{ACB}+\angle \mathit{ADE}=180°$，作 $\mathit{CH}\perp \mathit{AB}$，垂足为 $H$．

（1）如图 $a$，当 $\angle \mathit{ACB}=90°$时，连接 $\mathit{CD}$，过点 $C$作 $\mathit{CF}\perp \mathit{CD}$交 $\mathit{BA}$的延长线于点 $F$．

①求证： $\mathit{FA}=\mathit{DE}$；

②请猜想三条线段 $\mathit{DE}$， $\mathit{AD}$， $\mathit{CH}$之间的数量关系，直接写出结论；

（2）如图 $b$，当 $\angle \mathit{ACB}=120°$时，三条线段 $\mathit{DE}$， $\mathit{AD}$， $\mathit{CH}$之间存在怎样的数量关系？请证明你的结论．

（1）如图1，菱形的顶点、在菱形的边上，且，请直接写出的结果（不必写计算过程）

（2）将图1中的菱形绕点旋转一定角度，如图2，求；

（3）把图2中的菱形都换成矩形，如图3，且，此时的结果与（2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果（不必写计算过程）；若无变化，请说明理由．

如图，在中，，以为直径的分别与，交于点，，过点作，垂足为点．

（1）求证：直线是的切线；

（2）求证：；

（3）若的半径为4，，求阴影部分的面积．

阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：如图1， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，点 $D$在 $\mathit{BC}$边上， $\angle \mathit{DAB}=\angle \mathit{ABD}$， $\mathit{BE}\perp \mathit{AD}$，垂足为 $E$，求证： $\mathit{BC}=2\mathit{AE}$．

小明经探究发现，过点 $A$作 $\mathit{AF}\perp \mathit{BC}$，垂足为 $F$，得到 $\angle \mathit{AFB}=\angle \mathit{BEA}$，从而可证 $\mathit{\Delta ABF}\cong \mathit{\Delta BAE}$（如图 $2)$，使问题得到解决．

（1）根据阅读材料回答： $\mathit{\Delta ABF}$与 $\mathit{\Delta BAE}$全等的条件是　　（填“ $\mathit{SSS}$”、“ $\mathit{SAS}$”、“ $\mathit{ASA}$”、“ $\mathit{AAS}$”或“ $\mathit{HL}$”中的一个）

参考小明思考问题的方法，解答下列问题：

（2）如图3， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\angle \mathit{BAC}=90°$， $D$为 $\mathit{BC}$的中点， $E$为 $\mathit{DC}$的中点，点 $F$在 $\mathit{AC}$的延长线上，且 $\angle \mathit{CDF}=\angle \mathit{EAC}$，若 $\mathit{CF}=2$，求 $\mathit{AB}$的长；

（3）如图4， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\angle \mathit{BAC}=120°$，点 $D$、 $E$分别在 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$边上，且 $\mathit{AD}=\mathit{kDB}$（其中 $0<k<\frac{\sqrt{3}}{3})$， $\angle \mathit{AED}=\angle \mathit{BCD}$，求 $\frac{\mathit{AE}}{\mathit{EC}}$的值（用含 $k$的式子表示）．

如图，内接于，直径交于点，延长至点，使，连接并延长交过点的切线于点，且满足，连接，若，．

（1）求证：；

（2）求的半径；

（3）求证：是的切线．

在菱形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle \mathit{ABC}=60°$，点 $P$是射线 $\mathit{BD}$上一动点，以 $\mathit{AP}$为边向右侧作等边 $\mathit{\Delta APE}$，点 $E$的位置随着点 $P$的位置变化而变化．

（1）如图1，当点 $E$在菱形 $\mathit{ABCD}$内部或边上时，连接 $\mathit{CE}$， $\mathit{BP}$与 $\mathit{CE}$的数量关系是　　， $\mathit{CE}$与 $\mathit{AD}$的位置关系是　　；

（2）当点 $E$在菱形 $\mathit{ABCD}$外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由（选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理）；

（3）如图4，当点 $P$在线段 $\mathit{BD}$的延长线上时，连接 $\mathit{BE}$，若 $\mathit{AB}=2\sqrt{3}$， $\mathit{BE}=2\sqrt{19}$，求四边形 $\mathit{ADPE}$的面积．

如图， $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{AD}$为 $\angle \mathit{BAC}$的平分线，以 $\mathit{AB}$上一点 $O$为圆心的半圆经过 $A$、 $D$两点，交 $\mathit{AB}$于 $E$，连接 $\mathit{OC}$交 $\mathit{AD}$于点 $F$．

（1）判断 $\mathit{BC}$与 $\odot O$的位置关系，并说明理由；

（2）若 $\mathit{OF}:\mathit{FC}=2:3$， $\mathit{CD}=3$，求 $\mathit{BE}$的长．

如图，是的直径，点是延长线上一点，过点作的切线，切点是，过点作弦于，连接，．

（1）求证：是的切线；

（2）若，，求的长；

（3）试探究线段，，之间的数量关系，并说明理由．

如图，点 $E$在以 $\mathit{AB}$为直径的 $\odot O$上，点 $C$是 $\stackrel{̂}{\mathit{BE}}$的中点，过点 $C$作 $\mathit{CD}$垂直于 $\mathit{AE}$，交 $\mathit{AE}$的延长线于点 $D$，连接 $\mathit{BE}$交 $\mathit{AC}$于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{CD}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\cos \angle \mathit{CAD}=\frac{4}{5}$， $\mathit{BF}=15$，求 $\mathit{AC}$的长．