初中数学解直角三角形解答题

如图，点是线段上一点，，以点为圆心，的长为半径作，过点作的垂线交于，两点，点在线段的延长线上，连接交于点，以，为边作．

（1）求证：是的切线；

（2）若，求四边形与重叠部分的面积；

（3）若，，连接，求和的长．

如图，中，，一同学利用直尺和圆规完成如下操作：

①以点为圆心，以为半径画弧，交于点；分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交点，作射线；

②以点为圆心，以适当的长为半径画弧，交于点，交的延长线于点；分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作直线交的延长线于点，交射线于点．

请你观察图形，根据操作结果解答下列问题；

（1）线段与的大小关系是　　；

（2）过点作交的延长线于点，若，，求的值．

如图，已知 $A$、 $B$是 $\odot O$上两点， $\mathit{\Delta OAB}$外角的平分线交 $\odot O$于另一点 $C$， $\mathit{CD}\perp \mathit{AB}$交 $\mathit{AB}$的延长线于 $D$．

（1）求证： $\mathit{CD}$是 $\odot O$的切线；

（2） $E$为 $\stackrel{̂}{\mathit{AB}}$的中点， $F$为 $\odot O$上一点， $\mathit{EF}$交 $\mathit{AB}$于 $G$，若 $\tan \angle \mathit{AFE}=\frac{3}{4}$， $\mathit{BE}=\mathit{BG}$， $\mathit{EG}=3\sqrt{10}$，求 $\odot O$的半径．

如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，过作直线．

（1）求证：是的切线；

（2）若，，求优弧的长．

如图，在中，，为的中点，以为直径的分别交，于点，两点，过点作于点．

（1）试判断与的位置关系，并说明理由．

（2）若，，求的长．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{AC}=m$， $\mathit{BC}=n$， $m>n$，点 $P$是边 $\mathit{AB}$上一点，连接 $\mathit{CP}$，将 $\mathit{\Delta ACP}$沿 $\mathit{CP}$翻折得到 $\mathit{\Delta QCP}$．

（1）若 $m=4$， $n=3$，且 $\mathit{PQ}\perp \mathit{AB}$，求 $\mathit{BP}$的长；

（2）连接 $\mathit{BQ}$，若四边形 $\mathit{BCPQ}$是平行四边形，求 $m$与 $n$之间的关系式．

如图 $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $\mathit{PA}$与 $\odot O$相切于点 $A$， $\mathit{BP}$与 $\odot O$相交于点 $D$， $C$为 $\odot O$上的一点，分别连接 $\mathit{CB}$、 $\mathit{CD}$， $\angle \mathit{BCD}=60°$．

（1）求 $\angle \mathit{ABD}$的度数；

（2）若 $\mathit{AB}=6$，求 $\mathit{PD}$的长度．

如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别为，，，．动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿边向终点运动；动点从点同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿边向终点运动．设运动的时间为秒，．

（1）直接写出关于的函数解析式及的取值范围：　　；

（2）当时，求的值；

（3）连接交于点，若双曲线经过点，问的值是否变化？若不变化，请求出的值；若变化，请说明理由．

在中，，，是上一点，连接．

（1）如图1，若，是延长线上一点，与垂直，求证：．

（2）过点作，为垂足，连接并延长交于点．

①如图2，若，求证：．

②如图3，若是的中点，直接写出的值．（用含的式子表示）

问题情境：

在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动．如图1，将：矩形纸片 $\mathit{ABCD}$沿对角线 $\mathit{AC}$剪开，得到 $\mathit{\Delta ABC}$和 $\mathit{\Delta ACD}$．并且量得 $\mathit{AB}=2\mathit{cm}$， $\mathit{AC}=4\mathit{cm}$．

操作发现：

（1）将图1中的 $\mathit{\Delta ACD}$以点 $A$为旋转中心，按逆时针方向旋转 $\angle \alpha$，使 $\angle \alpha =\angle \mathit{BAC}$，得到如图2所示的△ $\mathit{AC}\text{'}D$，过点 $C$作 $\mathit{AC}\text{'}$的平行线，与 $D{C}^{\text{'}}$的延长线交于点 $E$，则四边形 $\mathit{ACEC}\text{'}$的形状是　　．

（2）创新小组将图1中的 $\mathit{\Delta ACD}$以点 $A$为旋转中心，按逆时针方向旋转，使 $B$、 $A$、 $D$三点在同一条直线上，得到如图3所示的△ $\mathit{AC}\text{'}D$，连接 $C{C}^{\text{'}}$，取 $\mathit{CC}\text{'}$的中点 $F$，连接 $\mathit{AF}$并延长至点 $G$，使 $\mathit{FG}=\mathit{AF}$，连接 $\mathit{CG}$、 $C\text{'}G$，得到四边形 $\mathit{ACGC}\text{'}$，发现它是正方形，请你证明这个结论．

实践探究：

（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，进行如下操作：将 $\mathit{\Delta ABC}$沿着 $\mathit{BD}$方向平移，使点 $B$与点 $A$重合，此时 $A$点平移至 $A^{\text{'}}$点， $A^{\text{'}}C$与 $\mathit{BC}\text{'}$相交于点 $H$，如图4所示，连接 $\mathit{CC}\text{'}$，试求 $\tan \angle C\text{'}\mathit{CH}$的值．

如图，在中，，以为直径的分别交，于点，，点在的延长线上，且．

（1）求证：是的切线；

（2）若的直径为3，，求和的长．

如图，是的直径，点为上一点，点是半径上一动点（不与，重合），过点作射线，分别交弦，于，两点，在射线上取点，使．

（1）求证：是的切线；

（2）当点是的中点时，

①若，判断以，，，为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理由；

②若，且，求的长．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle C=90°$， $\mathit{AD}$是 $\mathit{\Delta ABC}$的角平分线，点 $O$在边 $\mathit{AB}$上．过点 $A$、 $D$的圆的圆心 $O$在边 $\mathit{AB}$上，它与边 $\mathit{AB}$交于另一点 $E$．

（1）试判断 $\mathit{BC}$与圆 $O$的位置关系，并说明理由；

（2）若 $\mathit{AC}=6$， $\sin B=\frac{3}{5}$，求 $\mathit{AD}$的长．

关于 $x$的方程 $2x^2-5x\sin A+2=0$有两个相等的实数根，其中 $\angle A$是锐角三角形 $\mathit{ABC}$的一个内角．

（1）求 $\sin A$的值；

（2）若关于 $y$的方程 $y^2-10y+k^2-4k+29=0$的两个根恰好是 $\mathit{\Delta ABC}$的两边长，求 $\mathit{\Delta ABC}$的周长．

已知锐角的外接圆圆心为，半径为．

（1）求证：；

（2）若中，，，求的长及的值．