关于x的方程2x2−5xsinA20有两个相等的实数根，其中

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更新 2022-09-04
科目数学
题型解答题
难度中等
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关于 $x$ 的方程 $2 x^{2} - 5 x \sin A + 2 = 0$ 有两个相等的实数根，其中 $∠ A$ 是锐角三角形 $ABC$ 的一个内角．

（1）求 $\sin A$ 的值；

（2）若关于 $y$ 的方程 $y^{2} - 10 y + k^{2} - 4 k + 29 = 0$ 的两个根恰好是 $ΔABC$ 的两边长，求 $ΔABC$ 的周长．

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已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 2 x + a = 0$ 的两实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 满足 $x_{1} x_{2} + x_{1} + x_{2} > 0$ ，求 $a$ 的取值范围．

题型：未知
难度：未知

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如图，在 $▱ ABCD$ 中， $E$ ， $F$ 分别是 $AD$ ， $BC$ 上的点，且 $DE = BF$ ， $AC ⊥ EF$ ．求证：四边形 $AECF$ 是菱形．

题型：未知
难度：未知

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如图，对称轴为直线 $x = 1$ 的抛物线 $y = x^{2} - bx + c$ 与 $x$ 轴交于 $A (x_{1}$ ， $0)$ 、 $B (x_{2}$ ， $0) (x_{1} < x_{2})$ 两点，与 $y$ 轴交于 $C$ 点，且 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = - \frac{2}{3}$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线顶点为 $D$ ，直线 $BD$ 交 $y$ 轴于 $E$ 点；

①设点 $P$ 为线段 $BD$ 上一点（点 $P$ 不与 $B$ 、 $D$ 两点重合），过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线与抛物线交于点 $F$ ，求 $ΔBDF$ 面积的最大值；

②在线段 $BD$ 上是否存在点 $Q$ ，使得 $∠ BDC = ∠ QCE$ ？若存在，求出点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

题型：未知
难度：未知

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如图，在 $ΔABC$ 中， $AB = 7.5$ ， $AC = 9$ ， $S_{ΔABC} = \frac{81}{4}$ ．动点 $P$ 从 $A$ 点出发，沿 $AB$ 方向以每秒5个单位长度的速度向 $B$ 点匀速运动，动点 $Q$ 从 $C$ 点同时出发，以相同的速度沿 $CA$ 方向向 $A$ 点匀速运动，当点 $P$ 运动到 $B$ 点时， $P$ 、 $Q$ 两点同时停止运动，以 $PQ$ 为边作正 $ΔPQM (P$ 、 $Q$ 、 $M$ 按逆时针排序），以 $QC$ 为边在 $AC$ 上方作正 $ΔQCN$ ，设点 $P$ 运动时间为 $t$ 秒．

（1）求 $\cos A$ 的值；

（2）当 $ΔPQM$ 与 $ΔQCN$ 的面积满足 $S_{ΔPQM} = \frac{9}{5} S_{ΔQCN}$ 时，求 $t$ 的值；

（3）当 $t$ 为何值时， $ΔPQM$ 的某个顶点 $(Q$ 点除外）落在 $ΔQCN$ 的边上．

题型：未知
难度：未知

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如图，在 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ，以 $AB$ 为直径的 $⊙ O$ 分别与 $BC$ 、 $AC$ 交于点 $D$ 、 $E$ ，过点 $D$ 作 $DF ⊥ AC$ 于点 $F$ ．

（1）若 $⊙ O$ 的半径为3， $∠ CDF = 15 °$ ，求阴影部分的面积；

（2）求证： $DF$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（3）求证： $∠ EDF = ∠ DAC$ ．

题型：未知
难度：未知

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