如图，AB是⊙O的直径，点P是BA延长线上一点，过点P作⊙O

如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $P$ 是 $BA$ 延长线上一点，过点 $P$ 作 $⊙ O$ 的切线 $PC$ ，切点是 $C$ ，过点 $C$ 作弦 $CD ⊥ AB$ 于 $E$ ，连接 $CO$ ， $CB$ ．

（1）求证： $PD$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $AB = 10$ ， $\tan B = \frac{1}{2}$ ，求 $PA$ 的长；

（3）试探究线段 $AB$ ， $OE$ ， $OP$ 之间的数量关系，并说明理由．

相关试题

口袋中有 $4$ 个相同的小球，它们分别写有数字 $2, 3, 4, 5$ ，从口袋中随机取出两个球，用所得的两个数 $a$ 和 $b$ 构成函数 $y = ax - 2$ 和 $y = x + b$ ，求使这两个函数的交点在直线 $x = 2$ 右侧的概率.

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假设有一个正八面体的骰子，八个面上分别写上了 $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$ 这 $8$ 个数字，每一次投掷这个骰子，出现这 $8$ 个数字的机会都是一样的.若将骰子掷三次，依次记录朝上的面上三次出现的数字，设出现的数字中最大的一个用 $m$ 表示，最小的一个用 $n$ 表示.

（1）令 $t = m - n$ ，求 $t$ 的取值范围;

（2）求 $t = 3$ 的概率.

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在一个不透明的布袋里装有 $4$ 个标有 $1, 2, 3, 4$ 的小球，它们的形状、大小完全相同.小明从布袋里随机取出一个小球，记下数字为 $x$ ，小红在剩下的 $3$ 个小球中随机取出一个小球，记下数字为 $y$ ，这样确定了点 $Q$ 的坐标 $(x, y)$ .

（1）画树状图或列表，写出点 $Q$ 所有可能的坐标;

（2）求点 $Q (x, y)$ 在函数 $y = - x + 5$ 的图象上的概率;

（3）小明和小红约定做一个游戏，其规则为:若 $x, y$ 满足 $xy > 6$ 则小明胜;若 $x, y$ 满足 $xy < 6$ 则小红胜，这个游戏公平吗?说明理由;若不公平，请写出公平的游戏规则.

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甲、乙、丙三人之间相互传球，球从一个人手中随机传到另外一个人手中，共传球三次.

（1）若开始时球在甲手中，求经过三次传球后，球传回到甲手中的概率是多少?

（2）若乙想使球经过三次传递后，球落在自己手中的概率最大，乙会让球开始时在谁手中?请说明理由.

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一个家庭有 $3$ 个孩子.

（1）求这个家庭有 $2$ 个男孩和 $1$ 个女孩的概率;

（2）求这个家庭至少有一个男孩的概率.

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