阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，ΔABC中，AB

更新 2022-09-04
科目数学
题型解答题
难度中等
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阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：如图1， $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ，点 $D$ 在 $BC$ 边上， $∠ DAB = ∠ ABD$ ， $BE ⊥ AD$ ，垂足为 $E$ ，求证： $BC = 2 AE$ ．

小明经探究发现，过点 $A$ 作 $AF ⊥ BC$ ，垂足为 $F$ ，得到 $∠ AFB = ∠ BEA$ ，从而可证 $ΔABF ≅ ΔBAE$ （如图 $2)$ ，使问题得到解决．

（1）根据阅读材料回答： $ΔABF$ 与 $ΔBAE$ 全等的条件是　　（填“ $SSS$ ”、“ $SAS$ ”、“ $ASA$ ”、“ $AAS$ ”或“ $HL$ ”中的一个）

参考小明思考问题的方法，解答下列问题：

（2）如图3， $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ， $∠ BAC = 90 °$ ， $D$ 为 $BC$ 的中点， $E$ 为 $DC$ 的中点，点 $F$ 在 $AC$ 的延长线上，且 $∠ CDF = ∠ EAC$ ，若 $CF = 2$ ，求 $AB$ 的长；

（3）如图4， $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ， $∠ BAC = 120 °$ ，点 $D$ 、 $E$ 分别在 $AB$ 、 $AC$ 边上，且 $AD = kDB$ （其中 $0 < k < \frac{\sqrt{3}}{3})$ ， $∠ AED = ∠ BCD$ ，求 $\frac{AE}{EC}$ 的值（用含 $k$ 的式子表示）．

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“和为8”出现频数	2	10	13	24	30	37	58	82	110	150
“和为8”出现频率	0.20	0.50	0.43	0.40	0.33	0.31	0.32	0.34	0.33	0.33

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0.33
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