已知直线 $l_1:y=x+3$与 $x$轴交于点 $A$，与 $y$轴交于点 $B$，且与双曲线 $y=\frac{k}{x}$交于点 $C(1,a)$．

（1）试确定双曲线的函数表达式；

（2）将 $l_1$沿 $y$轴翻折后，得到 $l_2$，画出 $l_2$的图象，并求出 $l_2$的函数表达式；

（3）在（2）的条件下，点 $P$是线段 $\mathit{AC}$上点（不包括端点），过点 $P$作 $x$轴的平行线，分别交 $l_2$于点 $M$，交双曲线于点 $N$，求 $S_{\mathit{\Delta AMN}}$的取值范围．