初中数学解直角三角形解答题

数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含 $45°$的三角板的斜边与含 $30°$的三角板的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角板直角顶点重合拼放在一起，点 $B$， $C$， $E$在同一直线上，若 $\mathit{BC}=2$，求 $\mathit{AF}$的长．

请你运用所学的数学知识解决这个问题．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{BC}=12$， $\tan A=\frac{3}{4}$， $\angle B=30°$；求 $\mathit{AC}$和 $\mathit{AB}$的长．

已知：如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，点 $P$是底边 $\mathit{BC}$上一点且满足 $\mathit{PA}=\mathit{PB}$， $\odot O$是 $\mathit{\Delta PAB}$的外接圆，过点 $P$作 $\mathit{PD}//\mathit{AB}$交 $\mathit{AC}$于点 $D$．

（1）求证： $\mathit{PD}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{BC}=8$， $\tan \angle \mathit{ABC}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，求 $\odot O$的半径．

请阅读以下材料：已知向量 $\vec{a}=(x_1$， $y_1)$， $\vec{b}=(x_2$， $y_2)$满足下列条件：

① $\left|\vec{a}\right|=\sqrt{x_1^2+y_1^2}$， $\left|\vec{b}\right|=\sqrt{x_2^2+y_2^2}$

② $\vec{a}\otimes \vec{b}=\left|\vec{a}\right|\times \left|\vec{b}\right|\cos \alpha$（角 $\alpha$的取值范围是 $0°<\alpha <90°)$；

③ $\vec{a}\otimes \vec{b}=x_1{x}_2+y_1{y}_2$

利用上述所给条件解答问题：

如：已知 $\vec{a}=(1,\sqrt{3})$， $\vec{b}=(-\sqrt{3}$， $3)$，求角 $\alpha$的大小；

解： $\because \left|\vec{a}\right|=\sqrt{x_1^2+y_1^2}=\sqrt{1^2+{\left(\sqrt{3}\right)}^2}=2$，

$\vec{b}=\sqrt{x_2^2+y_2^2}=\sqrt{{(-\sqrt{3})}^2+3^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$

$\therefore \vec{a}\otimes \vec{b}=\left|\vec{a}\right|\times \left|\vec{b}\right|\cos \alpha =2\times 2\sqrt{3}\cos \alpha =4\sqrt{3}\cos \alpha$

又 $\because \vec{a}\otimes \vec{b}=x_1{x}_2+y_1{y}_2=1\times (-\sqrt{3})+\sqrt{3}\times 3=2\sqrt{3}$

$\therefore 4\sqrt{3}\cos \alpha =2\sqrt{3}$

$\therefore \cos \alpha =\frac{1}{2}$， $\therefore \alpha =60°$

$\therefore$角 $\alpha$的值为 $60°$．

请仿照以上解答过程，完成下列问题：

已知 $\vec{a}=(1,0)$， $\vec{b}=(1,-1)$，求角 $\alpha$的大小．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=7.5$， $\mathit{AC}=9$， $S_{\mathit{\Delta ABC}}=\frac{81}{4}$．动点 $P$从 $A$点出发，沿 $\mathit{AB}$方向以每秒5个单位长度的速度向 $B$点匀速运动，动点 $Q$从 $C$点同时出发，以相同的速度沿 $\mathit{CA}$方向向 $A$点匀速运动，当点 $P$运动到 $B$点时， $P$、 $Q$两点同时停止运动，以 $\mathit{PQ}$为边作正 $\mathit{\Delta PQM}(P$、 $Q$、 $M$按逆时针排序），以 $\mathit{QC}$为边在 $\mathit{AC}$上方作正 $\mathit{\Delta QCN}$，设点 $P$运动时间为 $t$秒．

（1）求 $\cos A$的值；

（2）当 $\mathit{\Delta PQM}$与 $\mathit{\Delta QCN}$的面积满足 $S_{\mathit{\Delta PQM}}=\frac{9}{5}{S}_{\mathit{\Delta QCN}}$时，求 $t$的值；

（3）当 $t$为何值时， $\mathit{\Delta PQM}$的某个顶点 $(Q$点除外）落在 $\mathit{\Delta QCN}$的边上．

如图，以 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$的直角边 $\mathit{AB}$为直径作 $\odot O$交斜边 $\mathit{AC}$于点 $D$，过圆心 $O$作 $\mathit{OE}//\mathit{AC}$，交 $\mathit{BC}$于点 $E$，连接 $\mathit{DE}$．

（1）判断 $\mathit{DE}$与 $\odot O$的位置关系并说明理由；

（2）求证： $2D{E}^2=\mathit{CD}·\mathit{OE}$；

（3）若 $\tan C=\frac{4}{3}$， $\mathit{DE}=\frac{5}{2}$，求 $\mathit{AD}$的长．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AC}=2\mathit{AB}$，将矩形 $\mathit{ABCD}$绕点 $A$旋转得到矩形 $\mathit{AB}\text{'}C\text{'}D\text{'}$，使点 $B$的对应点 $B^{\text{'}}$落在 $\mathit{AC}$上， $B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$交 $\mathit{AD}$于点 $E$，在 $B^{\text{'}}C\text{'}$上取点 $F$，使 $B^{\text{'}}F=\mathit{AB}$．

（1）求证： $\mathit{AE}=C\text{'}E$．

（2）求 $\angle \mathit{FB}{B}^{\text{'}}$的度数．

（3）已知 $\mathit{AB}=2$，求 $\mathit{BF}$的长．

在 $▱\mathit{ABCD}$中， $E$、 $F$分别是 $\mathit{AD}$、 $\mathit{BC}$上的点，将平行四边形 $\mathit{ABCD}$沿 $\mathit{EF}$所在直线翻折，使点 $B$与点 $D$重合，且点 $A$落在点 $A\text{'}$处．

（1）求证：△ $A\text{'}\mathit{ED}\cong \mathit{\Delta CFD}$；

（2）连接 $\mathit{BE}$，若 $\angle \mathit{EBF}=60°$， $\mathit{EF}=3$，求四边形 $\mathit{BFDE}$的面积．

已知 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$，点 $D$、 $E$分别在 $\mathit{BC}$、 $\mathit{AC}$边上，连接 $\mathit{BE}$、 $\mathit{AD}$交于点 $P$，设 $\mathit{AC}=\mathit{kBD}$， $\mathit{CD}=\mathit{kAE}$， $k$为常数，试探究 $\angle \mathit{APE}$的度数：

（1）如图1，若 $k=1$，则 $\angle \mathit{APE}$的度数为　　；

（2）如图2，若 $k=\sqrt{3}$，试问（1）中的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，求出 $\angle \mathit{APE}$的度数．

（3）如图3，若 $k=\sqrt{3}$，且 $D$、 $E$分别在 $\mathit{CB}$、 $\mathit{CA}$的延长线上，（2）中的结论是否成立，请说明理由．

如图1， $D$是 $\odot O$的直径 $\mathit{BC}$上的一点，过 $D$作 $\mathit{DE}\perp \mathit{BC}$交 $\odot O$于 $E$、 $N$， $F$是 $\odot O$上的一点，过 $F$的直线分别与 $\mathit{CB}$、 $\mathit{DE}$的延长线相交于 $A$、 $P$，连接 $\mathit{CF}$交 $\mathit{PD}$于 $M$， $\angle C=\frac{1}{2}\angle P$．

（1）求证： $\mathit{PA}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\angle A=30°$， $\odot O$的半径为4， $\mathit{DM}=1$，求 $\mathit{PM}$的长；

（3）如图2，在（2）的条件下，连接 $\mathit{BF}$、 $\mathit{BM}$；在线段 $\mathit{DN}$上有一点 $H$，并且以 $H$、 $D$、 $C$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta BFM}$相似，求 $\mathit{DH}$的长度．

如图，已知 $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $P$是 $\mathit{BA}$延长线上一点， $\mathit{PC}$切 $\odot O$于点 $C$， $\mathit{CG}$是 $\odot O$的弦， $\mathit{CG}\perp \mathit{AB}$，垂足为 $D$．

（1）求证： $\angle \mathit{PCA}=\angle \mathit{ABC}$．

（2）过点 $A$作 $\mathit{AE}//\mathit{PC}$交 $\odot O$于点 $E$，交 $\mathit{CD}$于点 $F$，连接 $\mathit{BE}$，若 $\cos \angle P=\frac{4}{5}$， $\mathit{CF}=10$，求 $\mathit{BE}$的长．

如图，一次函数 $y_1=\mathit{ax}+b(a\ne 0)$的图象与反比例函数 $y_2=\frac{k}{x}(k$为常数， $k\ne 0)$的图象交于 $A$、 $B$两点，过点 $A$作 $\mathit{AC}\perp x$轴，垂足为 $C$，连接 $\mathit{OA}$，已知 $\mathit{OC}=2$， $\tan \angle \mathit{AOC}=\frac{3}{2}$， $B(m,-2)$．

（1）求一次函数和反比例函数的解析式．

（2）结合图象直接写出：当 $y_1>y_2$时， $x$的取值范围．

在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{AB}=\sqrt{7}$， $\mathit{AC}=2$，过点 $B$作直线 $m//\mathit{AC}$，将 $\mathit{\Delta ABC}$绕点 $C$顺时针旋转得到△ $A\text{'}B\text{'}C$（点 $A$， $B$的对应点分别为 $A^{\text{'}}$， $B\text{'})$，射线 $\mathit{CA}\text{'}$， $\mathit{CB}\text{'}$分别交直线 $m$于点 $P$， $Q$．

（1）如图1，当 $P$与 $A\text{'}$重合时，求 $\angle \mathit{ACA}\text{'}$的度数；

（2）如图2，设 $A\text{'}B\text{'}$与 $\mathit{BC}$的交点为 $M$，当 $M$为 $A\text{'}B\text{'}$的中点时，求线段 $\mathit{PQ}$的长；

（3）在旋转过程中，当点 $P$， $Q$分别在 $\mathit{CA}\text{'}$， $\mathit{CB}\text{'}$的延长线上时，试探究四边形 $P{A}^{\text{'}}B\text{'}Q$的面积是否存在最小值．若存在，求出四边形 $\mathit{PA}\text{'}B\text{'}Q$的最小面积；若不存在，请说明理由．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle C=90°$， $\mathit{AD}$平分 $\angle \mathit{BAC}$交 $\mathit{BC}$于点 $D$， $O$为 $\mathit{AB}$上一点，经过点 $A$， $D$的 $\odot O$分别交 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$于点 $E$， $F$，连接 $\mathit{OF}$交 $\mathit{AD}$于点 $G$．

（1）求证： $\mathit{BC}$是 $\odot O$的切线；

（2）设 $\mathit{AB}=x$， $\mathit{AF}=y$，试用含 $x$， $y$的代数式表示线段 $\mathit{AD}$的长；

（3）若 $\mathit{BE}=8$， $\sin B=\frac{5}{13}$，求 $\mathit{DG}$的长，

如图1，在平面直角坐标系， $O$为坐标原点，点 $A(-1,0)$，点 $B(0,\sqrt{3})$．

（1）求 $\angle \mathit{BAO}$的度数；

（2）如图1，将 $\mathit{\Delta AOB}$绕点 $O$顺时针旋转得△ $A\text{'}\mathit{OB}\text{'}$，当 $A\text{'}$恰好落在 $\mathit{AB}$边上时，设△ $\mathit{AB}\text{'}O$的面积为 $S_1$，△ $\mathit{BA}\text{'}O$的面积为 $S_2$， $S_1$与 $S_2$有何关系？为什么？

（3）若将 $\mathit{\Delta AOB}$绕点 $O$顺时针旋转到如图2所示的位置， $S_1$与 $S_2$的关系发生变化了吗？证明你的判断．