初中数学解直角三角形解答题

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $O$为 $\mathit{AC}$上一点，以点 $O$为圆心， $\mathit{OC}$为半径做圆，与 $\mathit{BC}$相切于点 $C$，过点 $A$作 $\mathit{AD}\perp \mathit{BO}$交 $\mathit{BO}$的延长线于点 $D$，且 $\angle \mathit{AOD}=\angle \mathit{BAD}$．

（1）求证： $\mathit{AB}$为 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{BC}=6$， $\tan \angle \mathit{ABC}=\frac{4}{3}$，求 $\mathit{AD}$的长．

如图1，在 $△\mathit{ABC}$中， $\mathit{AB}＝6\mathit{cm}$， $\mathit{AC}＝5\mathit{cm}$， $\angle \mathit{CAB}＝60°$，点D为AB的中点，线段 $\mathit{AC}$上有一动点E，连接DE，作DA关于直线DE的对称图形，得到 $\mathit{DF}$，过点F作 $\mathit{FG}\perp \mathit{AB}$于点G．设A、E两点间的距离为 $\mathit{xcm}$， $F，G$两点间的距离为 $\mathit{ycm}．$

小军根据学习函数的经验，对因变量y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．

下面是小军的探究过程，请补充完整．

（1）列表：如表的已知数据是根据A，E两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到了x与y的几组对应值：

x/cm	0	0.51	1.03	1.41	1.50	1.75	2.20	2.68	3.00	3.61	4.10	4.74	5.00
y/cm	0	0.94	1.91	2.49		2.84	3.00	2.84	2.60	2.00	1.50	0.90	0.68

请你通过计算补全表格；

（2）描点、连线：在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中（如图2），描出表中各组数值所对应的点 $（x，y）$，并画出y关于x的图象；

（3）探究性质：随着x值的不断增大，y的值是怎样变化的？　　；

（4）解决问题：当 $\mathit{AE}+\mathit{FG}＝2$时，FG的长度大约是　　cm（保留两位小数）．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中，点 $O$在斜边 $\mathit{AB}$上，以 $O$为圆心， $\mathit{OB}$为半径作圆，分别与 $\mathit{BC}$， $\mathit{AB}$相交于点 $D$， $E$，连接 $\mathit{AD}$．已知 $\angle \mathit{CAD}=\angle B$．

（1）求证： $\mathit{AD}$是 $\odot O$的切线．

（2）若 $\mathit{BC}=8$， $\tan B=\frac{1}{2}$，求 $\odot O$的半径．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\angle \mathit{ABC}$ 的平分线 $\mathit{BD}$ 交 $\mathit{AC}$ 边于点 $D$ ， $\mathit{AE}\perp \mathit{BC}$ 于点 $E$ ．已知 $\angle \mathit{ABC}=60°$ ， $\angle C=45°$ ．

（1）求证： $\mathit{AB}=\mathit{BD}$ ；

（2）若 $\mathit{AE}=3$ ，求 $\mathit{\Delta ABC}$ 的面积．

如图，抛物线 $y=\frac{1}{4}{x}^2+\frac{1}{4}x+c$与 $x$轴的负半轴交于点 $A$，与 $y$轴交于点 $B$，连接 $\mathit{AB}$，点 $C(6,\frac{15}{2})$在抛物线上，直线 $\mathit{AC}$与 $y$轴交于点 $D$．

（1）求 $c$的值及直线 $\mathit{AC}$的函数表达式；

（2）点 $P$在 $x$轴正半轴上，点 $Q$在 $y$轴正半轴上，连接 $\mathit{PQ}$与直线 $\mathit{AC}$交于点 $M$，连接 $\mathit{MO}$并延长交 $\mathit{AB}$于点 $N$，若 $M$为 $\mathit{PQ}$的中点．

①求证： $\mathit{\Delta APM}\backsim \mathit{\Delta AON}$；

②设点 $M$的横坐标为 $m$，求 $\mathit{AN}$的长（用含 $m$的代数式表示）．

已知在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AC}=\mathit{BC}=m$， $D$是 $\mathit{AB}$边上的一点，将 $\angle B$沿着过点 $D$的直线折叠，使点 $B$落在 $\mathit{AC}$边的点 $P$处（不与点 $A$， $C$重合），折痕交 $\mathit{BC}$边于点 $E$．

（1）特例感知 如图1，若 $\angle C=60°$， $D$是 $\mathit{AB}$的中点，求证： $\mathit{AP}=\frac{1}{2}\mathit{AC}$；

（2）变式求异 如图2，若 $\angle C=90°$， $m=6\sqrt{2}$， $\mathit{AD}=7$，过点 $D$作 $\mathit{DH}\perp \mathit{AC}$于点 $H$，求 $\mathit{DH}$和 $\mathit{AP}$的长；

（3）化归探究 如图3，若 $m=10$， $\mathit{AB}=12$，且当 $\mathit{AD}=a$时，存在两次不同的折叠，使点 $B$落在 $\mathit{AC}$边上两个不同的位置，请直接写出 $a$的取值范围．

如图， $O$为 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$的直角边 $\mathit{AC}$上一点，以 $\mathit{OC}$为半径的 $\odot O$与斜边 $\mathit{AB}$相切于点 $D$，交 $\mathit{OA}$于点 $E$．已知 $\mathit{BC}=\sqrt{3}$， $\mathit{AC}=3$．

（1）求 $\mathit{AD}$的长；

（2）求图中阴影部分的面积．

如图，在 $\odot O$ 中， $\mathit{AB}$ 是直径，弦 $\mathit{CD}\perp \mathit{AB}$ ，垂足为 $H$ ， $E$ 为 $\stackrel{̂}{\mathit{BC}}$ 上一点， $F$ 为弦 $\mathit{DC}$ 延长线上一点，连接 $\mathit{FE}$ 并延长交直径 $\mathit{AB}$ 的延长线于点 $G$ ，连接 $\mathit{AE}$ 交 $\mathit{CD}$ 于点 $P$ ，若 $\mathit{FE}=\mathit{FP}$ ．

（1）求证： $\mathit{FE}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\odot O$ 的半径为8， $\sin F=\frac{3}{5}$ ，求 $\mathit{BG}$ 的长．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle C=90°$， $D$是 $\mathit{BC}$边上一点，以 $\mathit{DB}$为直径的 $\odot O$经过 $\mathit{AB}$的中点 $E$，交 $\mathit{AD}$的延长线于点 $F$，连接 $\mathit{EF}$．

（1）求证： $\angle 1=\angle F$．

（2）若 $\sin B=\frac{\sqrt{5}}{5}$， $\mathit{EF}=2\sqrt{5}$，求 $\mathit{CD}$的长．

如图，在 $\odot O$中， $\mathit{AB}$为 $\odot O$的直径， $C$为 $\odot O$上一点， $P$是 $\stackrel{̂}{\mathit{BC}}$的中点，过点 $P$作 $\mathit{AC}$的垂线，交 $\mathit{AC}$的延长线于点 $D$，连接 $\mathit{OP}$．

（1）求证： $\mathit{DP}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{AC}=5$， $\sin \angle \mathit{APC}=\frac{5}{13}$，求 $\mathit{AP}$的长．

如图，在 $▱\mathit{ABCD}$ 中， $E$ ， $F$ 是对角线 $\mathit{BD}$ 上的两点（点 $E$ 在点 $F$ 左侧），且 $\angle \mathit{AEB}=\angle \mathit{CFD}=90°$ ．

（1）求证：四边形 $\mathit{AECF}$ 是平行四边形；

（2）当 $\mathit{AB}=5$ ， $\tan \angle \mathit{ABE}=\frac{3}{4}$ ， $\angle \mathit{CBE}=\angle \mathit{EAF}$ 时，求 $\mathit{BD}$ 的长．

如图，已知 $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的直径， $\angle \mathit{ACD}$ 是 $\widehat{\mathit{AD}}$ 所对的圆周角， $\angle \mathit{ACD}=30°$ ．

（1）求 $\angle \mathit{DAB}$ 的度数；

（2）过点 $D$ 作 $\mathit{DE}\perp \mathit{AB}$ ，垂足为 $E$ ， $\mathit{DE}$ 的延长线交 $\odot O$ 于点 $F$ ．若 $\mathit{AB}=4$ ，求 $\mathit{DF}$ 的长．

如图，已知点 $C$ 是以 $\mathit{AB}$ 为直径的半圆上一点， $D$ 是 $\mathit{AB}$ 延长线上一点，过点 $D$ 作 $\mathit{BD}$ 的垂线交 $\mathit{AC}$ 的延长线于点 $E$ ，连结 $\mathit{CD}$ ，且 $\mathit{CD}=\mathit{ED}$ ．

（1）求证： $\mathit{CD}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\tan \angle \mathit{DCE}=2$ ， $\mathit{BD}=1$ ，求 $\odot O$ 的半径．

数学小组研究如下问题：长春市的纬度约为北纬 $44°$ ，求北纬 $44°$ 纬线的长度，小组成员查阅了相关资料，得到三条信息：

（1）在地球仪上，与南，北极距离相等的大圆圈，叫赤道，所有与赤道平行的圆圈叫纬线；

（2）如图， $\odot O$ 是经过南、北极的圆，地球半径 $\mathit{OA}$ 约为 $6400\mathit{km}$ ．弦 $\mathit{BC}//\mathit{OA}$ ，过点 $O$ 作 $\mathit{OK}\perp \mathit{BC}$ 于点 $K$ ，连接 $\mathit{OB}$ ．若 $\angle \mathit{AOB}=44°$ ，则以 $\mathit{BK}$ 为半径的圆的周长是北纬 $44°$ 纬线的长度；

（3）参考数据： $\pi$ 取3， $\sin 44°=0.69$ ， $\cos 44°=0.72$ ．

小组成员给出了如下解答，请你补充完整：

解：因为 $\mathit{BC}//\mathit{OA}$ ， $\angle \mathit{AOB}=44°$ ，

所以 $\angle B=\angle \mathit{AOB}=44°($ 　　 $)$ （填推理依据），

因为 $\mathit{OK}\perp \mathit{BC}$ ，所以 $\angle \mathit{BKO}=90°$ ，

在 $\text{Rt}\Delta \text{BOK}$ 中， $\mathit{OB}=\mathit{OA}=6400$ ．

$\mathit{BK}=\mathit{OB}\times$ 　　（填" $\sin B$ "或" $\cos B$ " $)$ ．

所以北纬 $44°$ 的纬线长 $C=2\pi \cdot \mathit{BK}$ ．

$=2\times 3\times 6400\times$ 　　（填相应的三角形函数值）

$\approx$ 　　 $\left(\mathit{km}\right)$ （结果取整数）．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{AC}=m$， $\mathit{BC}=n$， $m>n$，点 $P$是边 $\mathit{AB}$上一点，连接 $\mathit{CP}$，将 $\mathit{\Delta ACP}$沿 $\mathit{CP}$翻折得到 $\mathit{\Delta QCP}$．

（1）若 $m=4$， $n=3$，且 $\mathit{PQ}\perp \mathit{AB}$，求 $\mathit{BP}$的长；

（2）连接 $\mathit{BQ}$，若四边形 $\mathit{BCPQ}$是平行四边形，求 $m$与 $n$之间的关系式．