初中数学解直角三角形解答题

已知在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AC}=\mathit{BC}=m$， $D$是 $\mathit{AB}$边上的一点，将 $\angle B$沿着过点 $D$的直线折叠，使点 $B$落在 $\mathit{AC}$边的点 $P$处（不与点 $A$， $C$重合），折痕交 $\mathit{BC}$边于点 $E$．

（1）特例感知 如图1，若 $\angle C=60°$， $D$是 $\mathit{AB}$的中点，求证： $\mathit{AP}=\frac{1}{2}\mathit{AC}$；

（2）变式求异 如图2，若 $\angle C=90°$， $m=6\sqrt{2}$， $\mathit{AD}=7$，过点 $D$作 $\mathit{DH}\perp \mathit{AC}$于点 $H$，求 $\mathit{DH}$和 $\mathit{AP}$的长；

（3）化归探究 如图3，若 $m=10$， $\mathit{AB}=12$，且当 $\mathit{AD}=a$时，存在两次不同的折叠，使点 $B$落在 $\mathit{AC}$边上两个不同的位置，请直接写出 $a$的取值范围．

如图，在 $\odot O$ 中， $\mathit{AB}$ 是直径，弦 $\mathit{CD}\perp \mathit{AB}$ ，垂足为 $H$ ， $E$ 为 $\stackrel{̂}{\mathit{BC}}$ 上一点， $F$ 为弦 $\mathit{DC}$ 延长线上一点，连接 $\mathit{FE}$ 并延长交直径 $\mathit{AB}$ 的延长线于点 $G$ ，连接 $\mathit{AE}$ 交 $\mathit{CD}$ 于点 $P$ ，若 $\mathit{FE}=\mathit{FP}$ ．

（1）求证： $\mathit{FE}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\odot O$ 的半径为8， $\sin F=\frac{3}{5}$ ，求 $\mathit{BG}$ 的长．

如图，在 $\odot O$中， $\mathit{AB}$为 $\odot O$的直径， $C$为 $\odot O$上一点， $P$是 $\stackrel{̂}{\mathit{BC}}$的中点，过点 $P$作 $\mathit{AC}$的垂线，交 $\mathit{AC}$的延长线于点 $D$，连接 $\mathit{OP}$．

（1）求证： $\mathit{DP}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{AC}=5$， $\sin \angle \mathit{APC}=\frac{5}{13}$，求 $\mathit{AP}$的长．

如图，在四边形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{AD}=20$ ， $\mathit{BC}=\mathit{DC}=10\sqrt{2}$ ．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABC}\cong \mathit{\Delta ADC}$ ；

（2）当 $\angle \mathit{BCA}=45°$ 时，求 $\angle \mathit{BAD}$ 的度数．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$是 $\odot O$的内接三角形， $\angle \mathit{BAC}=75°$， $\angle \mathit{ABC}=45°$．连接 $\mathit{AO}$并延长，交 $\odot O$于点 $D$，连接 $\mathit{BD}$．过点 $C$作 $\odot O$的切线，与 $\mathit{BA}$的延长线相交于点 $E$．

（1）求证： $\mathit{AD}//\mathit{EC}$；

（2）若 $\mathit{AB}=12$，求线段 $\mathit{EC}$的长．

如图，已知锐角 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AC}=\mathit{BC}$ ．

（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作 $\angle \mathit{ACB}$ 的平分线 $\mathit{CD}$ ；作 $\mathit{\Delta ABC}$ 的外接圆 $\odot O$ ；（不写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，若 $\mathit{AB}=\frac{48}{5}$ ， $\odot O$ 的半径为5，则 $\sin B=$ 　　．（如需画草图，请使用图 $2)$

（1）如图1，将矩形 $\mathit{ABCD}$折叠，使 $\mathit{BC}$落在对角线 $\mathit{BD}$上，折痕为 $\mathit{BE}$，点 $C$落在点 $C\text{'}$处，若 $\angle \mathit{ADB}=46°$，则 $\angle \mathit{DBE}$的度数为　　 $°$．

（2）小明手中有一张矩形纸片 $\mathit{ABCD}$， $\mathit{AB}=4$， $\mathit{AD}=9$．

【画一画】

如图2，点 $E$在这张矩形纸片的边 $\mathit{AD}$上，将纸片折叠，使 $\mathit{AB}$落在 $\mathit{CE}$所在直线上，折痕设为 $\mathit{MN}$（点 $M$， $N$分别在边 $\mathit{AD}$， $\mathit{BC}$上），利用直尺和圆规画出折痕 $\mathit{MN}$（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线段描清楚）；

【算一算】

如图3，点 $F$在这张矩形纸片的边 $\mathit{BC}$上，将纸片折叠，使 $\mathit{FB}$落在射线 $\mathit{FD}$上，折痕为 $\mathit{GF}$，点 $A$， $B$分别落在点 $A\text{'}$， $B\text{'}$处，若 $\mathit{AG}=\frac{7}{3}$，求 $B\text{'}D$的长；

【验一验】

如图4，点 $K$在这张矩形纸片的边 $\mathit{AD}$上， $\mathit{DK}=3$，将纸片折叠，使 $\mathit{AB}$落在 $\mathit{CK}$所在直线上，折痕为 $\mathit{HI}$，点 $A$， $B$分别落在点 $A\text{'}$， $B\text{'}$处，小明认为 $B\text{'}I$所在直线恰好经过点 $D$，他的判断是否正确，请说明理由．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，以 $\mathit{AB}$为直径的 $\odot O$交 $\mathit{BC}$于点 $D$， $\mathit{DE}\perp \mathit{AC}$交 $\mathit{BA}$的延长线于点 $E$，交 $\mathit{AC}$于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{DE}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{AC}=6$， $\tan E=\frac{3}{4}$，求 $\mathit{AF}$的长．

【发现】如图①，已知等边 $\mathit{\Delta ABC}$，将直角三角板的 $60°$角顶点 $D$任意放在 $\mathit{BC}$边上（点 $D$不与点 $B$、 $C$重合），使两边分别交线段 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$于点 $E$、 $F$．

（1）若 $\mathit{AB}=6$， $\mathit{AE}=4$， $\mathit{BD}=2$，则 $\mathit{CF}=$　　；

（2）求证： $\mathit{\Delta EBD}\backsim \mathit{\Delta DCF}$．

【思考】若将图①中的三角板的顶点 $D$在 $\mathit{BC}$边上移动，保持三角板与边 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$的两个交点 $E$、 $F$都存在，连接 $\mathit{EF}$，如图②所示，问：点 $D$是否存在某一位置，使 $\mathit{ED}$平分 $\angle \mathit{BEF}$且 $\mathit{FD}$平分 $\angle \mathit{CFE}$？若存在，求出 $\frac{\mathit{BD}}{\mathit{BC}}$的值；若不存在，请说明理由．

【探索】如图③，在等腰 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，点 $O$为 $\mathit{BC}$边的中点，将三角形透明纸板的一个顶点放在点 $O$处（其中 $\angle \mathit{MON}=\angle B)$，使两条边分别交边 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$于点 $E$、 $F$（点 $E$、 $F$均不与 $\mathit{\Delta ABC}$的顶点重合），连接 $\mathit{EF}$．设 $\angle B=\alpha$，则 $\mathit{\Delta AEF}$与 $\mathit{\Delta ABC}$的周长之比为　　（用含 $\alpha$的表达式表示）．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$ 内接于 $\odot O$ ， $\angle 1=\angle 2$ ，延长 $\mathit{BC}$ 到点 $E$ ，使得 $\mathit{CE}=\mathit{AB}$ ，连接 $\mathit{ED}$ ．

（1）求证： $\mathit{BD}=\mathit{ED}$ ；

（2）若 $\mathit{AB}=4$ ， $\mathit{BC}=6$ ， $\angle \mathit{ABC}=60°$ ，求 $\tan \angle \mathit{DCB}$ 的值．

如图，在 $▱\mathit{ABCD}$ 中， $E$ ， $F$ 是对角线 $\mathit{BD}$ 上的两点（点 $E$ 在点 $F$ 左侧），且 $\angle \mathit{AEB}=\angle \mathit{CFD}=90°$ ．

（1）求证：四边形 $\mathit{AECF}$ 是平行四边形；

（2）当 $\mathit{AB}=5$ ， $\tan \angle \mathit{ABE}=\frac{3}{4}$ ， $\angle \mathit{CBE}=\angle \mathit{EAF}$ 时，求 $\mathit{BD}$ 的长．

如图，已知 $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的直径， $\angle \mathit{ACD}$ 是 $\widehat{\mathit{AD}}$ 所对的圆周角， $\angle \mathit{ACD}=30°$ ．

（1）求 $\angle \mathit{DAB}$ 的度数；

（2）过点 $D$ 作 $\mathit{DE}\perp \mathit{AB}$ ，垂足为 $E$ ， $\mathit{DE}$ 的延长线交 $\odot O$ 于点 $F$ ．若 $\mathit{AB}=4$ ，求 $\mathit{DF}$ 的长．

如图，已知点 $C$ 是以 $\mathit{AB}$ 为直径的半圆上一点， $D$ 是 $\mathit{AB}$ 延长线上一点，过点 $D$ 作 $\mathit{BD}$ 的垂线交 $\mathit{AC}$ 的延长线于点 $E$ ，连结 $\mathit{CD}$ ，且 $\mathit{CD}=\mathit{ED}$ ．

（1）求证： $\mathit{CD}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\tan \angle \mathit{DCE}=2$ ， $\mathit{BD}=1$ ，求 $\odot O$ 的半径．

数学小组研究如下问题：长春市的纬度约为北纬 $44°$ ，求北纬 $44°$ 纬线的长度，小组成员查阅了相关资料，得到三条信息：

（1）在地球仪上，与南，北极距离相等的大圆圈，叫赤道，所有与赤道平行的圆圈叫纬线；

（2）如图， $\odot O$ 是经过南、北极的圆，地球半径 $\mathit{OA}$ 约为 $6400\mathit{km}$ ．弦 $\mathit{BC}//\mathit{OA}$ ，过点 $O$ 作 $\mathit{OK}\perp \mathit{BC}$ 于点 $K$ ，连接 $\mathit{OB}$ ．若 $\angle \mathit{AOB}=44°$ ，则以 $\mathit{BK}$ 为半径的圆的周长是北纬 $44°$ 纬线的长度；

（3）参考数据： $\pi$ 取3， $\sin 44°=0.69$ ， $\cos 44°=0.72$ ．

小组成员给出了如下解答，请你补充完整：

解：因为 $\mathit{BC}//\mathit{OA}$ ， $\angle \mathit{AOB}=44°$ ，

所以 $\angle B=\angle \mathit{AOB}=44°($ 　　 $)$ （填推理依据），

因为 $\mathit{OK}\perp \mathit{BC}$ ，所以 $\angle \mathit{BKO}=90°$ ，

在 $\text{Rt}\Delta \text{BOK}$ 中， $\mathit{OB}=\mathit{OA}=6400$ ．

$\mathit{BK}=\mathit{OB}\times$ 　　（填" $\sin B$ "或" $\cos B$ " $)$ ．

所以北纬 $44°$ 的纬线长 $C=2\pi \cdot \mathit{BK}$ ．

$=2\times 3\times 6400\times$ 　　（填相应的三角形函数值）

$\approx$ 　　 $\left(\mathit{km}\right)$ （结果取整数）．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$内接于 $\odot O$， $\mathit{AB}=17$， $\mathit{CD}=10$， $\angle A=90°$， $\cos B=\frac{3}{5}$，求 $\mathit{AD}$的长．