如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB17，CD10，∠A90

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如图，四边形 $ABCD$ 内接于 $⊙ O$ ， $AB = 17$ ， $CD = 10$ ， $∠ A = 90 °$ ， $\cos B = \frac{3}{5}$ ，求 $AD$ 的长．

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如图，在四边形 $ABCD$ 中， $∠ BAC = 90 °$ ， $E$ 是 $BC$ 的中点， $AD / / BC$ ， $AE / / DC$ ， $EF ⊥ CD$ 于点 $F$ ．

（1）求证：四边形 $AECD$ 是菱形；

（2）若 $AB = 6$ ， $BC = 10$ ，求 $EF$ 的长．

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如图， $PA$ 与 $⊙ O$ 相切于点 $A$ ，过点 $A$ 作 $AB ⊥ OP$ ，垂足为 $C$ ，交 $⊙ O$ 于点 $B$ ．连接 $PB$ ， $AO$ ，并延长 $AO$ 交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，与 $PB$ 的延长线交于点 $E$ ．

（1）求证： $PB$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $OC = 3$ ， $AC = 4$ ，求 $\sin E$ 的值．

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杨老师为了了解所教班级学生课后复习的具体情况，对本班部分学生进行了一个月的跟踪调查，然后将调查结果分成四类： $A$ ：优秀； $B$ ：良好； $C$ ：一般； $D$ ：较差．并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图．

请根据统计图解答下列问题：

（1）本次调查中，杨老师一共调查了　　名学生，其中 $C$ 类女生有　　名， $D$ 类男生有　　名；

（2）补全上面的条形统计图和扇形统计图；

（3）在此次调查中，小平属于 $D$ 类．为了进步，她请杨老师从被调查的 $A$ 类学生中随机选取一位同学，和她进行“一帮一”的课后互助学习．请求出所选的同学恰好是一位女同学的概率．

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如图， $▱ ABCD$ 的对角线 $AC$ ， $BD$ 相交于点 $O$ ． $E$ ， $F$ 是 $AC$ 上的两点，并且 $AE = CF$ ，连接 $DE$ ， $BF$ ．

（1）求证： $ΔDOE ≅ ΔBOF$ ；

（2）若 $BD = EF$ ，连接 $EB$ ， $DF$ ，判断四边形 $EBFD$ 的形状，并说明理由．

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现今“微信运动”被越来越多的人关注和喜爱，某兴趣小组随机调查了我市50名教师某日“微信运动”中的步数情况进行统计整理，绘制了如下的统计图表（不完整） $:$

请根据以上信息，解答下列问题：

（1）写出 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ 的值并补全频数分布直方图；

（2）本市约有37800名教师，用调查的样本数据估计日行走步数超过12000步（包含12000步）的教师有多少名？

（3）若在50名被调查的教师中，选取日行走步数超过16000步（包含16000步）的两名教师与大家分享心得，求被选取的两名教师恰好都在20000步（包含20000步）以上的概率．

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