初中数学相似三角形的判定与性质试题

问题情境：如图1，在正方形 $\mathit{ABCD}$中， $E$为边 $\mathit{BC}$上一点（不与点 $B$、 $C$重合），垂直于 $\mathit{AE}$的一条直线 $\mathit{MN}$分别交 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AE}$、 $\mathit{CD}$于点 $M$、 $P$、 $N$．判断线段 $\mathit{DN}$、 $\mathit{MB}$、 $\mathit{EC}$之间的数量关系，并说明理由．

问题探究：在“问题情境”的基础上．

（1）如图2，若垂足 $P$恰好为 $\mathit{AE}$的中点，连接 $\mathit{BD}$，交 $\mathit{MN}$于点 $Q$，连接 $\mathit{EQ}$，并延长交边 $\mathit{AD}$于点 $F$．求 $\angle \mathit{AEF}$的度数；

（2）如图3，当垂足 $P$在正方形 $\mathit{ABCD}$的对角线 $\mathit{BD}$上时，连接 $\mathit{AN}$，将 $\mathit{\Delta APN}$沿着 $\mathit{AN}$翻折，点 $P$落在点 $P^{\text{'}}$处，若正方形 $\mathit{ABCD}$的边长为4， $\mathit{AD}$的中点为 $S$，求 $P^{\text{'}}S$的最小值．

问题拓展：如图4，在边长为4的正方形 $\mathit{ABCD}$中，点 $M$、 $N$分别为边 $\mathit{AB}$、 $\mathit{CD}$上的点，将正方形 $\mathit{ABCD}$沿着 $\mathit{MN}$翻折，使得 $\mathit{BC}$的对应边 $B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$恰好经过点 $A$， $C^{\text{'}}N$交 $\mathit{AD}$于点 $F$．分别过点 $A$、 $F$作 $\mathit{AG}\perp \mathit{MN}$， $\mathit{FH}\perp \mathit{MN}$，垂足分别为 $G$、 $H$．若 $\mathit{AG}=\frac{5}{2}$，请直接写出 $\mathit{FH}$的长．

如图，抛物线 $y=-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{3}{2}x+2$与 $x$轴交于点 $A$， $B$，与 $y$轴交于点 $C$．

（1）试求 $A$， $B$， $C$的坐标；

（2）将 $\mathit{\Delta ABC}$绕 $\mathit{AB}$中点 $M$旋转 $180°$，得到 $\mathit{\Delta BAD}$．

①求点 $D$的坐标；

②判断四边形 $\mathit{ADBC}$的形状，并说明理由；

（3）在该抛物线对称轴上是否存在点 $P$，使 $\mathit{\Delta BMP}$与 $\mathit{\Delta BAD}$相似？若存在，请直接写出所有满足条件的 $P$点的坐标；若不存在，请说明理由．

抛物线 $y=-x^2+2x+n$经过点 $M(-1,0)$，顶点为 $C$．

（1）求点 $C$的坐标；

（2）设直线 $y=2x$与抛物线交于 $A$、 $B$两点（点 $A$在点 $B$的左侧）．

①在抛物线的对称轴上是否存在点 $G$．使 $\angle \mathit{AGC}=\angle \mathit{BGC}$？若存在，求出点 $G$的坐标；若不存在，请说明理由；

②点 $P$在直线 $y=2x$上，点 $Q$在抛物线上，当以 $O$， $M$， $P$， $Q$为顶点的四边形是平行四边形时，求点 $Q$的坐标．

如图1，点 $A$坐标为 $(2,0)$，以 $\mathit{OA}$为边在第一象限内作等边 $\mathit{\Delta OAB}$，点 $C$为 $x$轴上一动点，且在点 $A$右侧，连接 $\mathit{BC}$，以 $\mathit{BC}$为边在第一象限内作等边 $\mathit{\Delta BCD}$，连接 $\mathit{AD}$交 $\mathit{BC}$于 $E$．

（1）①直接回答： $\mathit{\Delta OBC}$与 $\mathit{\Delta ABD}$全等吗？

②试说明：无论点 $C$如何移动， $\mathit{AD}$始终与 $\mathit{OB}$平行；

（2）当点 $C$运动到使 $A{C}^2=\mathit{AE}·\mathit{AD}$时，如图2，经过 $O$、 $B$、 $C$三点的抛物线为 $y_1$．试问： $y_1$上是否存在动点 $P$，使 $\mathit{\Delta BEP}$为直角三角形且 $\mathit{BE}$为直角边？若存在，求出点 $P$坐标；若不存在，说明理由；

（3）在（2）的条件下，将 $y_1$沿 $x$轴翻折得 $y_2$，设 $y_1$与 $y_2$组成的图形为 $M$，函数 $y=\sqrt{3}x+\sqrt{3}m$的图象 $l$与 $M$有公共点．试写出： $l$与 $M$的公共点为3个时， $m$的取值．

如图，在平面直角坐标系中，矩形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{AB}$在 $x$轴上， $\mathit{AB}$、 $\mathit{BC}$的长分别是一元二次方程 $x^2-7x+12=0$的两个根 $(\mathit{BC}>\mathit{AB})$， $\mathit{OA}=2\mathit{OB}$，边 $\mathit{CD}$交 $y$轴于点 $E$，动点 $P$以每秒1个单位长度的速度，从点 $E$出发沿折线段 $\mathit{ED}-\mathit{DA}$向点 $A$运动，运动的时间为 $t(0⩽t<6)$秒，设 $\mathit{\Delta BOP}$与矩形 $\mathit{AOED}$重叠部分的面积为 $S$．

（1）求点 $D$的坐标；

（2）求 $S$关于 $t$的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

（3）在点 $P$的运动过程中，是否存在点 $P$，使 $\mathit{\Delta BEP}$为等腰三角形？若存在，直接写出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

已知： $A$、 $B$两点在直线 $l$的同一侧，线段 $\mathit{AO}$， $\mathit{BM}$均是直线 $l$的垂线段，且 $\mathit{BM}$在 $\mathit{AO}$的右边， $\mathit{AO}=2\mathit{BM}$，将 $\mathit{BM}$沿直线 $l$向右平移，在平移过程中，始终保持 $\angle \mathit{ABP}=90°$不变， $\mathit{BP}$边与直线 $l$相交于点 $P$．

（1）当 $P$与 $O$重合时（如图2所示），设点 $C$是 $\mathit{AO}$的中点，连接 $\mathit{BC}$．求证：四边形 $\mathit{OCBM}$是正方形；

（2）请利用如图1所示的情形，求证： $\frac{\mathit{AB}}{\mathit{PB}}=\frac{\mathit{OM}}{\mathit{BM}}$；

（3）若 $\mathit{AO}=2\sqrt{6}$，且当 $\mathit{MO}=2\mathit{PO}$时，请直接写出 $\mathit{AB}$和 $\mathit{PB}$的长．

如图，在菱形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$交于点 $O$， $E$是 $\mathit{BD}$上一点， $\mathit{EF}//\mathit{AB}$， $\angle \mathit{EAB}=\angle \mathit{EBA}$，过点 $B$作 $\mathit{DA}$的垂线，交 $\mathit{DA}$的延长线于点 $G$．

（1） $\angle \mathit{DEF}$和 $\angle \mathit{AEF}$是否相等？若相等，请证明；若不相等，请说明理由；

（2）找出图中与 $\mathit{\Delta AGB}$相似的三角形，并证明；

（3） $\mathit{BF}$的延长线交 $\mathit{CD}$的延长线于点 $H$，交 $\mathit{AC}$于点 $M$．求证： $B{M}^2=\mathit{MF}·\mathit{MH}$．

如图，抛物线 $y=a(x-1)(x-3)(a>0)$与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点，抛物线上另有一点 $C$在 $x$轴下方，且使 $\mathit{\Delta OCA}\backsim \mathit{\Delta OBC}$．

（1）求线段 $\mathit{OC}$的长度；

（2）设直线 $\mathit{BC}$与 $y$轴交于点 $M$，点 $C$是 $\mathit{BM}$的中点时，求直线 $\mathit{BM}$和抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，直线 $\mathit{BC}$下方抛物线上是否存在一点 $P$，使得四边形 $\mathit{ABPC}$面积最大？若存在，请求出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图1，经过原点 $O$的抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}(a\ne 0)$与 $x$轴交于另一点 $A(\frac{3}{2}$， $0)$，在第一象限内与直线 $y=x$交于点 $B(2,t)$．

（1）求这条抛物线的表达式；

（2）在第四象限内的抛物线上有一点 $C$，满足以 $B$， $O$， $C$为顶点的三角形的面积为2，求点 $C$的坐标；

（3）如图2，若点 $M$在这条抛物线上，且 $\angle \mathit{MBO}=\angle \mathit{ABO}$，在（2）的条件下，是否存在点 $P$，使得 $\mathit{\Delta POC}\backsim \mathit{\Delta MOB}$？若存在，求出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

定义：点 $P$是 $\mathit{\Delta ABC}$内部或边上的点（顶点除外），在 $\mathit{\Delta PAB}$， $\mathit{\Delta PBC}$， $\mathit{\Delta PCA}$中，若至少有一个三角形与 $\mathit{\Delta ABC}$相似，则称点 $P$是 $\mathit{\Delta ABC}$的自相似点．

例如：如图1，点 $P$在 $\mathit{\Delta ABC}$的内部， $\angle \mathit{PBC}=\angle A$， $\angle \mathit{BCP}=\angle \mathit{ABC}$，则 $\mathit{\Delta BCP}\backsim \mathit{\Delta ABC}$，故点 $P$是 $\mathit{\Delta ABC}$的自相似点．

请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题：

在平面直角坐标系中，点 $M$是曲线 $y=\frac{3\sqrt{3}}{x}(x>0)$上的任意一点，点 $N$是 $x$轴正半轴上的任意一点．

（1）如图2，点 $P$是 $\mathit{OM}$上一点， $\angle \mathit{ONP}=\angle M$，试说明点 $P$是 $\mathit{\Delta MON}$的自相似点；当点 $M$的坐标是 $(\sqrt{3}$， $3)$，点 $N$的坐标是 $(\sqrt{3}$， $0)$时，求点 $P$的坐标；

（2）如图3，当点 $M$的坐标是 $(3,\sqrt{3})$，点 $N$的坐标是 $(2,0)$时，求 $\mathit{\Delta MON}$的自相似点的坐标；

（3）是否存在点 $M$和点 $N$，使 $\mathit{\Delta MON}$无自相似点？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，直线 $y=\mathit{kx}+b(k$、 $b$为常数）分别与 $x$轴、 $y$轴交于点 $A(-4,0)$、 $B(0,3)$，抛物线 $y=-x^2+2x+1$与 $y$轴交于点 $C$．

（1）求直线 $y=\mathit{kx}+b$的函数解析式；

（2）若点 $P(x,y)$是抛物线 $y=-x^2+2x+1$上的任意一点，设点 $P$到直线 $\mathit{AB}$的距离为 $d$，求 $d$关于 $x$的函数解析式，并求 $d$取最小值时点 $P$的坐标；

（3）若点 $E$在抛物线 $y=-x^2+2x+1$的对称轴上移动，点 $F$在直线 $\mathit{AB}$上移动，求 $\mathit{CE}+\mathit{EF}$的最小值．

如图，抛物线 $y=-\frac{2}{9}{x}^2+\mathit{bx}+c$经过点 $A(-3,0)$，点 $C(0,4)$，作 $\mathit{CD}//x$轴交抛物线于点 $D$，作 $\mathit{DE}\perp x$轴，垂足为 $E$，动点 $M$从点 $E$出发在线段 $\mathit{EA}$上以每秒2个单位长度的速度向点 $A$运动，同时动点 $N$从点 $A$出发在线段 $\mathit{AC}$上以每秒1个单位长度的速度向点 $C$运动，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为 $t$秒．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设 $\mathit{\Delta DMN}$的面积为 $S$，求 $S$与 $t$的函数关系式；

（3）①当 $\mathit{MN}//\mathit{DE}$时，直接写出 $t$的值；

②在点 $M$和点 $N$运动过程中，是否存在某一时刻，使 $\mathit{MN}\perp \mathit{AD}$？若存在，直接写出此时 $t$的值；若不存在，请说明理由．

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$的对角线相交于点 $O$，点 $M$， $N$分别是边 $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$上的动点（不与点 $B$， $C$， $D$重合）， $\mathit{AM}$， $\mathit{AN}$分别交 $\mathit{BD}$于点 $E$， $F$，且 $\angle \mathit{MAN}$始终保持 $45°$不变．

（1）求证： $\frac{\mathit{AF}}{\mathit{AM}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$；

（2）求证： $\mathit{AF}\perp \mathit{FM}$；

（3）请探索：在 $\angle \mathit{MAN}$的旋转过程中，当 $\angle \mathit{BAM}$等于多少度时， $\angle \mathit{FMN}=\angle \mathit{BAM}$？写出你的探索结论，并加以证明．

如图，已知抛物线 $y=\frac{1}{3}{x}^2+\mathit{bx}+c$经过 $\mathit{\Delta ABC}$的三个顶点，其中点 $A(0,1)$，点 $B(-9,10)$， $\mathit{AC}//x$轴，点 $P$是直线 $\mathit{AC}$下方抛物线上的动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）过点 $P$且与 $y$轴平行的直线 $l$与直线 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$分别交于点 $E$、 $F$，当四边形 $\mathit{AECP}$的面积最大时，求点 $P$的坐标；

（3）当点 $P$为抛物线的顶点时，在直线 $\mathit{AC}$上是否存在点 $Q$，使得以 $C$、 $P$、 $Q$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta ABC}$相似，若存在，求出点 $Q$的坐标，若不存在，请说明理由．

已知：如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=6\mathit{cm}$， $\mathit{BC}=8\mathit{cm}$，对角线 $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$交于点 $O$．点 $P$从点 $A$出发，沿 $\mathit{AD}$方向匀速运动，速度为 $1\mathit{cm}/s$；同时，点 $Q$从点 $D$出发，沿 $\mathit{DC}$方向匀速运动，速度为 $1\mathit{cm}/s$；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接 $\mathit{PO}$并延长，交 $\mathit{BC}$于点 $E$，过点 $Q$作 $\mathit{QF}//\mathit{AC}$，交 $\mathit{BD}$于点 $F$．设运动时间为 $t\left(s\right)(0<t<6)$，解答下列问题：

（1）当 $t$为何值时， $\mathit{\Delta AOP}$是等腰三角形？

（2）设五边形 $\mathit{OECQF}$的面积为 $S\left(c{m}^2\right)$，试确定 $S$与 $t$的函数关系式；

（3）在运动过程中，是否存在某一时刻 $t$，使 $S_{\mathit{五边形}\mathit{OECQF}}:S_{\mathit{\Delta ACD}}=9:16$？若存在，求出 $t$的值；若不存在，请说明理由；

（4）在运动过程中，是否存在某一时刻 $t$，使 $\mathit{OD}$平分 $\angle \mathit{COP}$？若存在，求出 $t$的值；若不存在，请说明理由．