初中数学旋转的性质解答题

如图， $\mathit{\Delta ABC}$与 $\mathit{\Delta CDE}$是等边三角形，连接 $\mathit{AD}$，取 $\mathit{AD}$的中点 $P$，连接 $\mathit{BP}$并延长至点 $M$，使 $\mathit{PM}=\mathit{BP}$，连接 $\mathit{AM}$， $\mathit{EM}$， $\mathit{AE}$，将 $\mathit{\Delta CDE}$绕点 $C$顺时针旋转．

（1）如图1，当点 $D$在 $\mathit{BC}$上，点 $E$在 $\mathit{AC}$上时，则 $\mathit{\Delta AEM}$的形状为　　；

（2）将 $\mathit{\Delta CDE}$绕点 $C$顺时针旋转至图2的位置，请判断 $\mathit{\Delta AEM}$的形状，并说明理由；

（3）若 $\mathit{CD}=\frac{1}{2}\mathit{BC}$，将 $\mathit{\Delta CDE}$由图1位置绕点 $C$顺时针旋转 $\alpha (0°⩽\alpha <360°)$，当 $\mathit{ME}=\sqrt{3}\mathit{CD}$时，请直接写出 $\alpha$的值．

如图1，点 $E$是正方形 $\mathit{ABCD}$边 $\mathit{CD}$上任意一点，以 $\mathit{DE}$为边作正方形 $\mathit{DEFG}$，连接 $\mathit{BF}$，点 $M$是线段 $\mathit{BF}$中点，射线 $\mathit{EM}$与 $\mathit{BC}$交于点 $H$，连接 $\mathit{CM}$．

（1）请直接写出 $\mathit{CM}$和 $\mathit{EM}$的数量关系和位置关系；

（2）把图1中的正方形 $\mathit{DEFG}$绕点 $D$顺时针旋转 $45°$，此时点 $F$恰好落在线段 $\mathit{CD}$上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由；

（3）把图1中的正方形 $\mathit{DEFG}$绕点 $D$顺时针旋转 $90°$，此时点 $E$、 $G$恰好分别落在线段 $\mathit{AD}$、 $\mathit{CD}$上，如图3，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由．

如图1，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $E$是 $\mathit{AD}$的中点，以点 $E$为直角顶点的直角三角形 $\mathit{EFG}$的两边 $\mathit{EF}$， $\mathit{EG}$分别过点 $B$， $C$， $\angle F=30°$．

（1）求证： $\mathit{BE}=\mathit{CE}$；

（2）将 $\mathit{\Delta EFG}$绕点 $E$按顺时针方向旋转，当旋转到 $\mathit{EF}$与 $\mathit{AD}$重合时停止转动，若 $\mathit{EF}$， $\mathit{EG}$分别与 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$相交于点 $M$， $N$（如图 $2)$．

①求证： $\mathit{\Delta BEM}\cong \mathit{\Delta CEN}$；

②若 $\mathit{AB}=2$，求 $\mathit{\Delta BMN}$面积的最大值；

③当旋转停止时，点 $B$恰好在 $\mathit{FG}$上（如图 $3)$，求 $\sin \angle \mathit{EBG}$的值．

如图1，经过原点 $O$的抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}(a$、 $b$为常数， $a\ne 0)$与 $x$轴相交于另一点 $A(3,0)$．直线 $l:y=x$在第一象限内和此抛物线相交于点 $B(5,t)$，与抛物线的对称轴相交于点 $C$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在 $x$轴上找一点 $P$，使以点 $P$、 $O$、 $C$为顶点的三角形与以点 $A$、 $O$、 $B$为顶点的三角形相似，求满足条件的点 $P$的坐标；

（3）直线 $l$沿着 $x$轴向右平移得到直线 $l\text{'}$， $l\text{'}$与线段 $\mathit{OA}$相交于点 $M$，与 $x$轴下方的抛物线相交于点 $N$，过点 $N$作 $\mathit{NE}\perp x$轴于点 $E$．把 $\mathit{\Delta MEN}$沿直线 $l\text{'}$折叠，当点 $E\text{'}$恰好落在抛物线上时（图 $2)$，求直线 $l\text{'}$的解析式；

（4）在（3）问的条件下（图 $3)$，直线 $l\text{'}$与 $y$轴相交于点 $K$，把 $\mathit{\Delta MOK}$绕点 $O$顺时针旋转 $90°$得到△ $M\text{'}\mathit{OK}\text{'}$，点 $F$为直线 $l\text{'}$上的动点．当△ $M^{\text{'}}\mathit{FK}\text{'}$为等腰三角形时，求满足条件的点 $F$的坐标．

如图 1 所示， 在四边形 $\mathit{ABCD}$中， 点 $O$， $E$， $F$， $G$分别是 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$， $\mathit{AD}$的中点， 连接 $\mathit{OE}$， $\mathit{EF}$， $\mathit{FG}$， $\mathit{GO}$， $\mathit{GE}$．

（1） 证明： 四边形 $\mathit{OEFG}$是平行四边形；

（2） 将 $\mathit{\Delta OGE}$绕点 $O$顺时针旋转得到 $\mathit{\Delta OMN}$，如图 2 所示， 连接 $\mathit{GM}$， $\mathit{EN}$．

①若 $\mathit{OE}=\sqrt{3}$， $\mathit{OG}=1$，求 $\frac{\mathit{EN}}{\mathit{GM}}$的值；

②试在四边形 $\mathit{ABCD}$中添加一个条件， 使 $\mathit{GM}$， $\mathit{EN}$的长在旋转过程中始终相等 ． （不 要求证明）

在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AD}>\mathit{AB}$，点 $P$是 $\mathit{CD}$边上的任意一点（不含 $C$， $D$两端点），过点 $P$作 $\mathit{PF}//\mathit{BC}$，交对角线 $\mathit{BD}$于点 $F$．

（1）如图1，将 $\mathit{\Delta PDF}$沿对角线 $\mathit{BD}$翻折得到 $\mathit{\Delta QDF}$， $\mathit{QF}$交 $\mathit{AD}$于点 $E$．

求证： $\mathit{\Delta DEF}$是等腰三角形；

（2）如图2，将 $\mathit{\Delta PDF}$绕点 $D$逆时针方向旋转得到△ $P^{\text{'}}D{F}^{\text{'}}$，连接 $P^{\text{'}}C$， $F^{\text{'}}B$．设旋转角为 $\alpha (0°<\alpha <180°)$．

①若 $0°<\alpha <\angle \mathit{BDC}$，即 $D{F}^{\text{'}}$在 $\angle \mathit{BDC}$的内部时，求证：△ $D{P}^{\text{'}}C\backsim$△ $D{F}^{\text{'}}B$．

②如图3，若点 $P$是 $\mathit{CD}$的中点，△ $D{F}^{\text{'}}B$能否为直角三角形？如果能，试求出此时 $\tan \angle \mathit{DB}{F}^{\text{'}}$的值，如果不能，请说明理由．

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$的边长为1，点 $E$为边 $\mathit{AB}$上一动点，连接 $\mathit{CE}$并将其绕点 $C$顺时针旋转 $90°$得到 $\mathit{CF}$，连接 $\mathit{DF}$，以 $\mathit{CE}$、 $\mathit{CF}$为邻边作矩形 $\mathit{CFGE}$， $\mathit{GE}$与 $\mathit{AD}$、 $\mathit{AC}$分别交于点 $H$、 $M$， $\mathit{GF}$交 $\mathit{CD}$延长线于点 $N$．

（1）证明：点 $A$、 $D$、 $F$在同一条直线上；

（2）随着点 $E$的移动，线段 $\mathit{DH}$是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，请说明理由；

（3）连接 $\mathit{EF}$、 $\mathit{MN}$，当 $\mathit{MN}//\mathit{EF}$时，求 $\mathit{AE}$的长．

如图1， $\mathit{\Delta ABC}$是边长为 $4\mathit{cm}$的等边三角形，边 $\mathit{AB}$在射线 $\mathit{OM}$上，且 $\mathit{OA}=6\mathit{cm}$，点 $D$从 $O$点出发，沿 $\mathit{OM}$的方向以 $1\mathit{cm}/s$的速度运动，当 $D$不与点 $A$重合时，将 $\mathit{\Delta ACD}$绕点 $C$逆时针方向旋转 $60°$得到 $\mathit{\Delta BCE}$，连接 $\mathit{DE}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta CDE}$是等边三角形；

（2）如图2，当 $6<t<10$时， $\mathit{\Delta BDE}$的周长是否存在最小值？若存在，求出 $\mathit{\Delta BDE}$的最小周长；若不存在，请说明理由；

（3）如图3，当点 $D$在射线 $\mathit{OM}$上运动时，是否存在以 $D$、 $E$、 $B$为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时 $t$的值；若不存在，请说明理由．

如图，已知 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，把 $\mathit{\Delta ABC}$绕 $A$点沿顺时针方向旋转得到 $\mathit{\Delta ADE}$，连接 $\mathit{BD}$， $\mathit{CE}$交于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{\Delta AEC}\cong \mathit{\Delta ADB}$；

（2）若 $\mathit{AB}=2$， $\angle \mathit{BAC}=45°$，当四边形 $\mathit{ADFC}$是菱形时，求 $\mathit{BF}$的长．

已知： $\mathit{\Delta AOB}$和 $\mathit{\Delta COD}$均为等腰直角三角形， $\angle \mathit{AOB}=\angle \mathit{COD}=90°$．连接 $\mathit{AD}$， $\mathit{BC}$，点 $H$为 $\mathit{BC}$中点，连接 $\mathit{OH}$．

（1）如图1所示，易证： $\mathit{OH}=\frac{1}{2}\mathit{AD}$且 $\mathit{OH}\perp \mathit{AD}$

（2）将 $\mathit{\Delta COD}$绕点 $O$旋转到图2，图3所示位置时，线段 $\mathit{OH}$与 $\mathit{AD}$又有怎样的关系，并选择一个图形证明你的结论．

已知： $\mathit{\Delta ABC}$是等腰直角三角形， $\angle \mathit{BAC}=90°$，将 $\mathit{\Delta ABC}$绕点 $C$顺时针方向旋转得到△ $A\text{'}B\text{'}C$，记旋转角为 $\alpha$，当 $90°<\alpha <180°$时，作 $A\text{'}D\perp \mathit{AC}$，垂足为 $D$， $A\text{'}D$与 $B\text{'}C$交于点 $E$．

（1）如图1，当 $\angle \mathit{CA}\text{'}D=15°$时，作 $\angle A\text{'}\mathit{EC}$的平分线 $\mathit{EF}$交 $\mathit{BC}$于点 $F$．

①写出旋转角 $\alpha$的度数；

②求证： $\mathit{EA}\text{'}+\mathit{EC}=\mathit{EF}$；

（2）如图2，在（1）的条件下，设 $P$是直线 $A\text{'}D$上的一个动点，连接 $\mathit{PA}$， $\mathit{PF}$，若 $\mathit{AB}=\sqrt{2}$，求线段 $\mathit{PA}+\mathit{PF}$的最小值．（结果保留根号）

通过对下面数学模型的研究学习，解决问题．

【模型呈现】

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$， $\angle \mathit{ACB}=90°$，将斜边 $\mathit{AB}$绕点 $A$顺时针旋转 $90°$得到 $\mathit{AD}$，过点 $D$作 $\mathit{DE}\perp \mathit{AC}$于点 $E$，可以推理得到 $\mathit{\Delta ABC}\cong \mathit{\Delta DAE}$，进而得到 $\mathit{AC}=\mathit{DE}$， $\mathit{BC}=\mathit{AE}$．

我们把这个数学模型称为“ $K$型”．

推理过程如下：

【模型应用】

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$内接于 $\odot O$， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{BC}=2$，将斜边 $\mathit{AB}$绕点 $A$顺时针旋转一定的角度得到 $\mathit{AD}$，过点 $D$作 $\mathit{DE}\perp \mathit{AC}$于点 $E$， $\angle \mathit{DAE}=\angle \mathit{ABC}$， $\mathit{DE}=1$，连接 $\mathit{DO}$交 $\odot O$于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{AD}$是 $\odot O$的切线；

（2）连接 $\mathit{FC}$交 $\mathit{AB}$于点 $G$，连接 $\mathit{FB}$．求证： $F{G}^2=\mathit{GO}·\mathit{GB}$．

在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle C=90°$， $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$绕点 $A$顺时针旋转到 $\text{Rt}\Delta \text{ADE}$的位置，点 $E$在斜边 $\mathit{AB}$上，连接 $\mathit{BD}$，过点 $D$作 $\mathit{DF}\perp \mathit{AC}$于点 $F$．

（1）如图1，若点 $F$与点 $A$重合，求证： $\mathit{AC}=\mathit{BC}$；

（2）若 $\angle \mathit{DAF}=\angle \mathit{DBA}$，

①如图2，当点 $F$在线段 $\mathit{CA}$的延长线上时，判断线段 $\mathit{AF}$与线段 $\mathit{BE}$的数量关系，并说明理由；

②当点 $F$在线段 $\mathit{CA}$上时，设 $\mathit{BE}=x$，请用含 $x$的代数式表示线段 $\mathit{AF}$．

如图，在平面直角坐标系中，直角 $\mathit{\Delta ABC}$的三个顶点分别是 $A(-3,1)$， $B(0,3)$， $C(0,1)$

（1）将 $\mathit{\Delta ABC}$以点 $C$为旋转中心旋转 $180°$，画出旋转后对应的△ $A_1{B}_1{C}_1$；

（2）分别连接 $A{B}_1$、 $B{A}_1$后，求四边形 $A{B}_1{A}_{1}B$的面积．

如图①， $\mathit{AD}$为等腰直角 $\mathit{\Delta ABC}$的高，点 $A$和点 $C$分别在正方形 $\mathit{DEFG}$的边 $\mathit{DG}$和 $\mathit{DE}$上，连接 $\mathit{BG}$， $\mathit{AE}$．

（1）求证： $\mathit{BG}=\mathit{AE}$；

（2）将正方形 $\mathit{DEFG}$绕点 $D$旋转，当线段 $\mathit{EG}$经过点 $A$时，（如图②所示）

①求证： $\mathit{BG}\perp \mathit{GE}$；

②设 $\mathit{DG}$与 $\mathit{AB}$交于点 $M$，若 $\mathit{AG}:\mathit{AE}=3:4$，求 $\frac{\mathit{GM}}{\mathit{MD}}$的值．