如图1， 是边长为 的等边三角形，边 在射线 上，且 ，点 从 点出发，沿 的方向以 的速度运动，当 不与点 重合时，将 绕点 逆时针方向旋转 得到 ，连接 ．
（1）求证： 是等边三角形；
（2）如图2，当 时， 的周长是否存在最小值？若存在，求出 的最小周长；若不存在，请说明理由；
（3）如图3，当点 在射线 上运动时，是否存在以 、 、 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时 的值；若不存在，请说明理由．
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操作：如图①，点O为线段MN的中点，直线PQ与MN相交于点O，请利用图①画出一对以点O为对称中心的全等三角形。
根据上述操作得到的经验完成下列探究活动：（本题12分）
探究一：如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE＝∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。试探究线段AB与AF、CF之间的等量关系，并证明你的结论；
探究二：如图③，DE、BC相交于点E，BA交DE于点A，且BE：EC＝1：2，∠BAE＝∠EDF，CF∥AB。若AB＝5，CF＝1，求DF的长度。
△
中，
为
边的中点，过点分别作
∥
交
于点
，
∥交于点
.（本题10分）
（1）证明：△
≌△
；
（2）如果给△添加一个条件，使四边形
成为菱形，则该条件是；
如果给△添加一个条件，使四边形成为矩形，则该条件是.
（均不再增添辅助线） 请选择一个结论进行证明.
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